泊松括号与泊松定理
- 泊松括号(Poisson brackets）
设某力学量表示为函数 φ≡φ(q_1,…,q_s;p_1,…,p_s;t) ，根据哈密顿方程，我们知道
则 \dot \varphi=\sum_{\alpha=1}^{s}\left( \frac{\partial \varphi}{\partial q_α}\dot q_α+\frac{\partial \varphi}{\partial p_α}\dot p_α \right)+\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\sum_{\alpha=1}^{s}\left( \frac{\partial \varphi}{\partial q_α}\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_α}\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \right)+\frac{\partial \varphi}{\partial t}
为了表达式的简洁，我们规定 \left[ \varphi,H \right]=\sum_{\alpha=1}^{s}\left( \frac{\partial \varphi}{\partial q_α}\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_α}\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \right)
因此，对于以上的力学量对于时间的导数，我们记为 \dot \varphi=\left[ \varphi,H \right]+\frac{\partial \varphi}{\partial t}
当力学量不显含时间时， \frac{\partial \varphi}{\partial t}=0 ， \dot \varphi=\left[ \varphi,H \right]
若 φ=q_α,p_α ，因为 \frac{\partial q_α}{\partial t}=\frac{\partial p_α}{\partial t}=0 ，故 \dot q _α=[q_α,H] \ , \ \dot p _α=[p_α,H]
我们统一规定 o≡φ(q_1,…,q_s;p_1,…,p_s) ，则 \dot o _α=[o_α,H]
这是哈密顿正则方程的另一种形式，在形式上更加简洁了
根据泊松括号的定义，易得：[q_α,p_β]=δ_{αβ} ， [q_α,q_β]=[p_α,p_β]=0 ，其中 δ_{αβ} 为克罗内克δ函数 (Kronecker δ-function)，当 \alpha=\beta 时， δ_{αβ}=1 ，当 \alpha\ne\beta 时， δ_{αβ}=0
于是，我们可以得到：
当 (o_α,o_β)=(q_α,p_α) 时， [o_α,o_β]=1
当 (o_α,o_β)=(p_α,q_α) 时， [o_α,o_β]=-1
当 [o_α,o_β]=0 时，属于其他情况
因此，对于我们的泊松括号，我们还可以写为：[φ,ψ]=\sum_{α,β=1}^{2s}\frac{\partial \varphi}{o_{\alpha}}\frac{\psi}{o_{\beta}}[o_α,o_β]
2. 泊松括号的基本性质
（1）若 c 为常数，则 [c,φ]=0
（2） [φ,ψ]=−[ψ,φ]
（3） ψ=\sum_{i=1}^{n}{}ψ_i ⟹ [φ,ψ]=\sum_{i=1}^{n}[φ,ψ_i]
（4） [−φ,ψ]=−[φ,ψ]
（5） \frac{\partial}{\partial t}[φ,ψ]=\left[ \frac{\partial}{\partial t}\varphi,ψ\right]+\left[ \varphi ,\frac{\partial}{\partial t}\psi\right]
（6） [θ,[φ,ψ]]+[φ,[ψ,θ]]+[ψ,[θ,φ]]=0 (雅可比恒等式)
（7） [q_α,p_β]=δ_{αβ} \ , \ \ [q_α,q_β]=[p_α,p_β]=0
3. 泊松定理
如果 φ 和 ψ 是哈密顿正则方程的两个运动积分，则 [φ, ψ] 也是一个运动积分
即：φ=C_1, ψ=C_2 \ \Rightarrow \ [φ,ψ]=C_3
该定理为我们提供了一条寻找运动积分的新途径，即可由两个运动积分求出第三个运动积分
例题：一组质点只在保守内力作用下运动。如x、y方向的分角动量为常数，则z方向的分角动量也必定是一个常数，试用泊松定理加以证明。
J_{x}=\sum_{i}^{}m_{i}\left( y_{i}\dot z_{i}-z_{i}\dot y_{i} \right)=\sum_{i}^{}m_{i}\left( y_{i}p_{iz}-z_{i}p_{iy} \right)
J_{y}=\sum_{i}^{}m_{i}\left( z_{i}\dot x_{i}-x_{i}\dot z_{i} \right)=\sum_{i}^{}m_{i}\left( z_{i}p_{ix}-x_{i}p_{iz} \right)
J_{z}=\sum_{i}^{}m_{i}\left( x_{i}\dot y_{i}-y_{i}\dot x_{i} \right)=\sum_{i}^{}m_{i}\left( x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix} \right)
J_{x}=C_1, J_{y}=C_2 ，所以 [J_{x},J_{x}]=C_3
[J_{x},J_{y}]=\sum_{\alpha=1}^{s}\left[ \left( \frac{\partial J_{x}}{\partial x_i}\frac{\partial J_{y}}{\partial p_{ix}}-\frac{\partial J_{x}}{\partial p_{ix}}\frac{\partial J_{y}}{\partial x_{i}} \right)+\left( \frac{\partial J_{x}}{\partial y_i}\frac{\partial J_{y}}{\partial p_{iy}}-\frac{\partial J_{y}}{\partial p_{iy}}\frac{\partial J_{y}}{\partial x_{i}} \right)+\left( \frac{\partial J_{x}}{\partial z_i}\frac{\partial J_{y}}{\partial p_{iz}}-\frac{\partial J_{x}}{\partial p_{iz}}\frac{\partial J_{y}}{\partial z_{i}} \right) \right]=
[J_{x},J_{y}]=\sum_{i}^{}m_{i}\left( x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix} \right)=J_{z}=C_3
4. 泊松定理的局限性
若 ： \frac{\partial H}{∂q_α}=0 \ \Rightarrow \ p_α=C_α \ , \ \frac{\partial H}{∂t}=0 \ \Rightarrow \ H=C ，我们使用泊松定理
[p_α,p_β]=0 \ , \ [p_α,H]=\dot p _α=0
我们发现我们什么都没有得到，从广义动量积分和广义能量积分出发，得不到新的守恒量！！！利用泊松定理求解哈密顿方程的方法具有很大的局限性，那么如何能够求解大量的不能用泊松定理处理的问题？这时候就要运用到正则变换了！
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