概述

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉 定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质^[1]。欧拉定理表明，若n，a为正整数，且互素（即gcd(a,n)），则：

即a （n)与1在模n下同余；φ(n)为欧拉函数。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。欧拉定理实际上是费马小定理的推广^[2]。

例子

首先看一个基本的例子。令a=3，n=5，此两数为互质正整数。小于等于5的正整数中与5互质的数有4个（1、2、3和4），所以 （5）=4。计算：

与定理结果相符。

使用本定理可大程度地简化幂的模运算。比如计算7 2222的个位数时，可将此命题视为求7 2222被10除的余数：因7和10互质，且 （10）=4，故由欧拉定理可知7 4=1（mod 10)。所以7 2222=74.45+2=（7 4）55.7 2=1 55.72=49=9（mod 10)^[3]。

一般在简化幂的模运算的时候，当a和n互质时，可对a的指数取模 (n）：

证明

证明1

一般的证明中会用到“所有与n互质的同余类构成一个群”的性质，也就是说，设：

是比n小的正整数中所有与n互素的数对应的同余类组成的集合（这个集合也称为模n 的简化剩余系）。这些同余类构成一个群，称为整数模n乘法群。因为此群阶为：

当n是素数的时候， （n)=n-1，所以欧拉定理变为：

这就是费马小定理^[4]。

证明2

用数学归纳法证明

(1) 当R = 2 时, 由说明1, 这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面, 赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”, 即R = 2,V = 2, E= 2; 于是R + V- E= 2, 欧拉定理成立.

(2) 设R = m (m≥2) 时欧拉定理成立, 下面证明R = m+ 1 时欧拉定理也成立.

由说明2, 我们在R = m+ 1 的地图上任选一个区域X , 则X 必有与它如此相邻的区域Y, 使得在去掉X 和Y 之间的唯一一条边界后, 地图上只有m个区域了.

在去掉X 和Y 之间的边界后, 若原该边界两端的顶点现在都还是3 条或3 条以上边界的顶点, 则该顶点保留, 同时其他的边界数不变; 若原该边界一端或两端的顶点现在成为2 条边界的顶点, 则去掉该顶点, 该顶点两边的两条边界便成为一条边界. 于是, 在去掉X 和Y 之间的唯一一条边界时只有三种情况: ①减少一个区域和一条边界; ②减少一个区域、一个顶点和两条边界; ③减少一个区域、两个顶点和三条边界; 即在去掉X 和Y 之间的边界时, 不论何种情况都必定有.

减少的区域数+ 减少的顶点数= 减少的边界数我们将上述过程反过来(即将X 和Y 之间去掉的边界又照原样画上) , 就又成为R = m + 1 的地图了, 在这一过程中必然是增加的区域数+ 增加的顶点数= 增加的边界数。

因此, 若R =m ( m≥2) 时欧拉定理成立, 则R =m+1时欧拉定理也成立

由( 1) 和( 2) 可知, 对于任何正整数R ≥ , 欧拉定理成立(证毕)。

应用

1、分析顺层斜坡稳定性

“欧拉定理”系材料力学中压杆稳定理论：假设压杆上作用压力为P，压杆的临界荷载为P ，当荷载P大于P ，则在某种微小扰动下使压杆产生弯曲变形，即使去掉荷载P，压杆也不能恢复到直线状态，在荷载增大过程中压杆发生弯曲变形破坏，其破坏判据为：

式中：E为弹性模量；J为最小惯性矩(J=t3／12)；／7,为与压杆两端束缚情况有关的长度系数。根据相关研究资料，对于斜坡／7,=0．7；f为斜坡长度(斜坡上岩层长度)；t为岩层厚度。

对于斜坡，斜坡上未被切断脚部的单宽岩层也可近似的将其稳定条件视为与压杆相同，因此，从这一角度出发，岩层此类型的破坏机理，实际上为岩层的“溃曲”。

2、“欧拉定理”适用的地质条件

“欧拉定理”所针对的是压杆稳定，因此，在斜坡稳定性分析中，构成斜坡的岩层应有以下几个特征：

(1)岩层厚度不大(一般小于1.0 m)，岩层倾向与斜坡同向：斜坡侧向有地形切割或较连续的侧向结构面。

(2)结构面(节理、层面)间力学强度低，这是岩层发生“溃曲”的重要条件。由于结构面强度低，则完整岩层的厚度(或岩层纵向宽度)小，具有岩层力学性质愈接近压杆的特性。

(3)斜坡长(岩层顺坡向方向延伸长度)与结构切割岩体的断面尺寸比值较大，同样也使得岩层力学性质接近压杆。

(4)风化、卸荷作用的强弱对斜坡岩层的“溃曲”有很大影响。岩石风化使得弹性模量降低；卸荷程度加大，使得结构面有张开的可能，减弱了岩层的抗弯曲能力。

实例分析

下图为云南保山某水库右坝肩地质剖面图。斜坡地形坡度47°，由下奥陶统“老尖山组”(0，1)第一小层的单层厚度为0.7- 0.9 m 的石英砂岩夹薄层泥质粉砂岩组成，岩层倾向山外，倾角70。，层面问泥化现象严重。岩体内优势节理面倾向上游，倾角6o°—75°，线密度1-2条／m，部分张开。据此不难看出，该斜坡的地质结构与“欧拉定理”的边界条件极为接近，故采用欧拉定理对开挖边坡的极限坡高进行评价是可行的。

如下图所示，岩层所承受的荷载为岩层自重沿泥化夹层的分量(下滑力)与泥化夹层对岩层起阻滑作用的分量(阻滑力)问的差值，即：

计算得Z=80.7 m，即斜坡的极限长度为80.7m，而实际中最大斜坡长仅为70 m，故斜坡在自然状态下是稳定的。考虑到坝体对开挖边坡的反压作用，故未对斜坡进行锚固处理，仅结合防渗灌浆对泥化夹层进行固结处理。现该工程已顺利通过审查，进入施工阶段。

虽然“欧拉定理”所针对的是压杆稳定问题，但在岩层倾向与斜坡倾向同向的斜坡稳定分析中有着积极的实用意义^[5]。

斜坡的稳定影响因素很复杂，但“欧拉定理”在运用中则考虑较少，如计算中侧向岩体的作用、地震的作用即被忽略，这是需要在以后的研究中加以论证的^[6]。