【抽象代数】18. 模的直积与直和，自由模与投射模

前言

本篇介绍模的直积与直和，以及自由模与投射模等内容。
利用范畴论语言介绍的模论知识，推荐北京大学李文威的《代数学方法》（第一卷）。

18.1 模的直积与直和

模的直积
如果 $\{M_i\}_{i\in I}$ 是一族 -模，其中是指标集，则它们的直积（direct product）是 $\prod_{i\in I}M_i=\{(x_i)_{i\in I}|x_i\in M_i\}$ ，其加法和数乘定义为按分量进行加法和数乘。

可以验证，上述模的直积依然是 -模。如果取 $I=\{1,2,\cdots,r\}$ ，上述直积包含个子模 M_i' ，其中的元素为 $x_i'=(0,\cdots,0,x_i,0,\cdots,0),x_i\in M_i$ ，而且 $M_i'\cong M_i$ 。

模的直和
如果 $\{M_i\}_{i\in I}$ 是一族 -模，其中是指标集，则它们的直和（direct sum）是 $\bigoplus_{i\in I}M_i=\{(x_i)_{i\in I}|x_i\in M_i\}$ ，而且 $x_i\neq 0$ 只对有限个成立，其加法和数乘定义为按分量进行加法和数乘。

可以发现，模的直积与直和在有限的情况下是相同的。实际上，直积对应的是范畴的积，直和对应的是范畴的余积。如果取 $I=\{1,2,\cdots,r\}$ ，直和有如下的等价定义。

模直和的等价定义
设是 -模， $\{M_i\}_{i\in I}$ 是一族的子模，其中 $I=\{1,2,\cdots,r\}$ ，满足：
（1） $N=M_1 + \cdots + M_r$
（2） $M_i\cap (M_1+\cdots +M_{i-1}+M_{i+1}+\cdots+M_r)=\{0\},i=1,\cdots,r$
则是 $\{M_i\}_{i\in I}$ 的直和。

18.2 自由模

上一节中我们知道，在 -模中取 $x_1,\cdots,x_r\in M$ ，可以构造由这些 x_i 生成的子模，即 $N=\{a_1x_1+\cdots+a_rx_r|a_i\in R\}$ 。注意这里默认要求只有有限多个 a_i 不为零，实际上是一个有限和。记 $S=\{x_1,\cdots,x_n\}$ ，称为子模的生成元。

-线性无关
对于 -模中的有限子集 $S_r=\{x_1,\cdots,x_r\}$ ，如果对于 $a_i\in R$ ，任一线性关系 $a_1x_1+\cdots+a_rx_r=0$ 都能够推出 $a_1=\cdots=a_r=0$ ，则称是 -线性无关的，否则称为 -线性相关。如果的非空子集的任一有限子集是 -线性无关的，则称是 -线性无关的。

与线性空间类似，有些模中也有基的概念。

基
对于 -模，如果生成元 $S=\{x_1,\cdots,x_r\}$ 是 -线性无关的，则称是的一组基（basis）。在某组基下表示成有限和的方法是唯一的。

如果有一组由有限多个元素组成的生成元，则称是有限生成的。

自由模
如果 -模有一组基，则称为自由 -模（free module）。

一个模总存在一组生成元，但未必有一组基。一个有限Abel群作为 $\mathbb{Z}$ -模，就没有基，从而不是自由模。

设是环， R^n 是个的直积，其中的元素为 $(x_1,\cdots,x_n)$ 。规定其上的加法为按分量相加，对 R^n 的作用规定为 $a(x_1,\cdots,x_n)=(ax_1,\cdots,ax_n),a\in R$ ，显然这是一个 -模。如果用 e_i 表示第个分量为，其余分量为的元素，则 R^n 中的元素可以表示为 $(x_1,\cdots,x_n)=x_1e_1+\cdots + x_ne_n$ 。容易发现 $\{e_i\}$ 是 -线性无关的，因此 $e_1,\cdots,e_n$ 是 R^n 的一组基。从而 R^n 是自由 -模。

定理：如果是自由 -模， ${u_1,\cdots,u_n}$ 是它的一组基。是任一个 -模， $v_1,\cdots,v_n$ 是的任一个子集，则映射 $u_i\mapsto v_i$ 可唯一地扩充成到的 -同态。

证明是显然的，因为可以上任何一个元素都可以表示为 $u_1,\cdots,u_n$ 的线性组合，而该映射可以延拓为 $v_1,\cdots,v_n$ 的线性组合，从而构成模同态。如果取 M'=R^n 有以下推论：

推论：如果是自由 -模， ${u_1,\cdots,u_n}$ 是它的一组基，则 $M\cong R^n$ 。

18.3 自由模的性质

自由模的泛性质
设是自由 -模， $S=\{x_1,\cdots,x_r\}$ 是一组基。设是任一 -模，是的任一子集。则映射 $\varphi:S\rightarrow S'$ 总能唯一地扩充为到的模同态。

证明：对于 $\forall x\in M$ ，设 $x=\sum_{i=1}^r a_ix_i$ ，其中 $a_i\in R$ ，令 $\overline{\varphi}:M\rightarrow M'$ 满足 $\overline{\varphi}(x)=\sum_{i=1}^r a_i\varphi(x_i)$ ，可以验证这是一个模同态。

推论：设是 -模， $S=\{x_1,\cdots,x_r\}$ 是一组生成元，满足：对任一模及其任一子集，映射 $\varphi:S\rightarrow S'$ 总能唯一地扩充为到的模同态，则是自由模而且是一组基。

接下来介绍自由模的秩。

考虑一个 -模，生成元 $S=\{x_1,\cdots,x_r\}$ ，是的一个理想。那么如下定义的 -线性组合的集合 $IS=\{a_1x_1+\cdots+a_rx_r|a_i\in I,x_i\in S\}$ 是的一个子模。而且还可以验证，的与生成元集的选取无关，只与有关；即如果也是的生成元集，有 IS=IS' 。

定理：设是自由 -模，生成元 $S=\{x_1,\cdots,x_r\}$ 是一组基，是的理想。令 $N=IS=Ix_1+\cdots+Ix_r$ 是的子模，则商模是自由 -模（也是含幺环），而且 $x_1+N,\cdots,x_r+N$ 是它的一组基。

上述定理容易验证。不妨令 $\overline{R}=R/I, \quad \overline{M}=M/N$ ，定义 $\overline{R}$ 在 $\overline{M}$ 上的作用为 $\overline{a}\cdot\overline{x}=\overline{ax}$ ，可以验证良定义即 (a+I)(x+N)=ax+N ，这里注意到是的一组基，所以 N=IS=IM 。同时可以验证：

$\forall a\in I, a(x+N)=ax+N=N \\ \forall x\in N, (a+I)x\subseteq N$

所以 $\overline{M}$ 是 $\overline{R}$ -模。最后证自由模，即 $\{\overline{x_i}=x_i+N\}_{i=1}^r$ 是一组基。显然因为 $\{x_i\}_{i=1}^r$ 是的生成元集，容易验证 $\{\overline{x_i}\}_{i=1}^r$ 是 $\overline{M}$ 的生成元集。考虑到 $\sum_{i=1}^r\overline{a_i}\ \overline{x_i}=\overline{0} \Leftrightarrow \overline{\sum_{i=1}^r{a_ix_i}}=\overline{0} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^r{a_ix_i} \in N \\$

而 $\{x_i\}_{i=1}^r$ 是一组基， N=IS ，所以 $\sum_{i=1}^r{a_ix_i} \in N \Leftrightarrow a_i\in I \Leftrightarrow \overline{a_i}=\overline{0}$ ，即 $\{\overline{x_i}=x_i+N\}_{i=1}^r$ 线性无关。

定理：设是交换幺环，是自由 -模，则的任意两组基中元素的数目相同。

证明：不妨设的两组基为 $x_1,\cdots,x_r$ 和 $y_1,\cdots,y_t$ ，的极大理想是。由上述定理， $N=Ix_1+\cdots+Ix_r=Iy_1+\cdots+Iy_t$ 。由于商模 M/N 是自由 R/I -模；而一个交换幺环中，是极大理想当且仅当 R/I 是域，也就是说 M/N 是域上的线性空间，而且有两组基 $\{x_i+N\}_{i=1}^r$ 和 $\{y_i+N\}_{i=1}^t$ ，而线性空间中基的个数是不变的，因此 r=t 。

推论：设是交换幺环，如果 $R^m\cong R^n$ ，则。

其中 R^n 表示环的直积。对于交换幺环，自由 -模的基所含元素的个数是关于的不变量，称为自由模的秩（rank），零模的秩为。这样的性质在线性空间中也存在，在线性空间中，秩也称为维度（dimension），秩为的线性空间也称为维线性空间。线性空间中还有更强的结论，给定一个域，上的维线性空间都是同构的，这个结论在交换幺环也成立。给定一个交换幺环和正整数，在模同构意义下秩为的自由 -模只有一个。

注意，与线性空间中不同的是，单独的非零元素不一定线性无关，但线性空间中单个非零向量是线性无关的；自由模的子模也未必是自由模。

18.4 投射模

自由模还有如下的性质：

定理：设是自由 -模，和是任意两个 -模，而且存在满的模同态 $\sigma:M\rightarrow N$ ，则对于到的任一个模同态 $\varphi$ ，一定存在到的一个模同态 $\psi$ 使得 $\sigma\psi=\varphi$ 。

证明：设 $S=\{x_1,\cdots,x_r\}$ 是的一组基。对于任意的 $\varphi(x_i)\in N$ ，因为 $\sigma$ 是满射，因此存在原像 $u_i=\sigma^{-1}(\varphi(x_i))\in M$ ，即 $\varphi(x_i)=\sigma(u_i)$ 。

我们知道如果是自由 -模， ${x_1,\cdots,x_n}$ 是它的一组基。是任一个 -模， $u_1,\cdots,u_n$ 是的任一个子集，则映射 $x_i\mapsto u_i$ 可唯一地扩充成到的 -同态，不妨设这个同态是 $\psi:F\rightarrow M$ ，则 $\psi(x_i)=u_i$ ，从而 $\sigma\psi(x_i)=\varphi(x_i)$ 对所有的 x_i 成立，因此 $\sigma\psi=\varphi$ ，证毕。

实际上，上述过程中的模称为投射模，自由模都是投射模。

投射模
设是 -模，如果对任意两个 -模和及其满同态 $\sigma:M\rightarrow N$ 都满足任一模同态 $\varphi:P\rightarrow N$ ，一定存在一个模同态 $\psi: P\rightarrow M$ 使得 $\sigma\psi=\varphi$ ，则称为投射模（projective module）。

投射模一定是自由模的直和项，但投射模未必是自由模。

18.5 不变基数环

我们知道，自由模的两组基中元素的个数不一定相同。

不变基数环
如果一个环上的任一自由模的任意两组基的势都相同，这样的环称为不变基数环（invariant basis number ring）或IBN环。一个IBN环上的自由模的一组基的势称为的秩（rank）。

如果基是有限集，秩就是基中元素的个数。显然，交换幺环是IBN环。

定理：如果是含幺环，是自由 -模。若有一组有限基，那么对于的任一基有。

这里不再对其进行证明。

推论：如果是含幺环，下述命题等价。
（1）是IBN环；
（2）如果是自由 -模，且存在有限基和，则；
（3）对任意，如果 $R^m\cong R^n$ ，则

这里给出一个非IBN环的例子。设是域， (V,F) 是无限可数维线性空间。设 $R=\operatorname{Hom}_F(V,V)$ 是上的自同态环，加法定义为按分量相加，乘法定义为映射的复合。可以证明，当 m,n>0 时一定有 $R^m\cong R^n$ ，因此不是IBN环。

定理：如果是除环，则是IBN环。

这里不再证明。要注意，如果是除环，每个 -模都是自由模。

后记：

以上，通过两篇内容大致介绍了模的定义与基本性质。关于交换环上自由模的自同态环，可以参考本专栏的附录A.4。

0003：19. 主理想整环上有限生成模的初步分解 0003：A4. 交换环上自由模的自同态环

评论区有人问诺特环上IBN性质的证明：

对于一个非零的Noetherian环，和两个正整数 m>n ，考虑投影同态 $f: R^m \rightarrow R^n$ 把前个分量投影。反证法：如果 $R^m\cong R^n$ ，则有同构 $f':R^n\rightarrow R^m$ ，那么对于 $g=f'\cdot f:R^m\rightarrow R^m$ ，是满的自同态。而因为 $\operatorname{ker}(g), \operatorname{ker}(g^2), \ldots$ 是理想的升链，根据升链条件 $\operatorname{ker}(g)=0$ 所以也是同构，但显然不是同构，因为 $\ker(f)\neq 0$ ，矛盾。所以 $R^m\ncong R^n$ ，证毕。

编辑于 2023-03-06 · 著作权归作者所有

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