如何理解非整数维的场论？

我觉得punch line是 \epsilon - expansion的用处在于定性研究重整化群（renormalization group, RG）的结构，\epsilon - expansion本身是一个微扰重整化群的方法。就拿Ising model为例，在满足 \mathbb{Z}_2 对称性的情况下，你可以在拉格朗日量里面加偶数次方的项和梯度的项，比如， (\nabla\phi)^2, g_{2n}\phi^{2n} 。然后我们希望研究低能下的物理，即大尺度下的物理，可以用重整化群，不断地积掉高能部分，得到低能的有效模型。

如果只看up to 二阶项， \mathcal{L}=\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+g_2 \phi^2 ，这个理论有一个Gaussian fixed point, 意思是在任何能量尺度下，都可以通过rescale场和能量动量，使得新理论和原来的理论一样，没有哪一个coupling constant变得很小或者很大。（如果随着能量降低，coupling constant变大 称这一项为relevant，反之为irrelevant，不变则叫marginal。relevant的项会带你离开fixed point，marginal一般在高阶修正下变成marginal irrelevant（通常是这个）或者marginal relevant（kondo, non-abelian gauge））

加上 g_4\phi^4 项后，d=4时，这一项marginal，单圈修正下是marginal irrelevant，d>4 irrelevant，所以 d\ge4 时\phi^4 项都不会带你离开Gaussian fixed point。但是d<4，该项变成relevant，relevant项会在RG下变得巨大，从而该模型跑出perturbative的范围，就不能用RG来做了，但是既然从Gaussian fixed point跑出来，他总归要去一个地方，我们就很“创新大胆的”做d=4-\epsilon的微扰，这也确实给出了Wilson-Fisher fixed point。

但是！当考虑更高阶 \epsilon 的修正，级数变得不收敛，somehow可以用一些resummation的办法来使级数变得有意义并且critical exponents算的也很准确。

感觉一般都是用\epsilon - expansion作为一个guide，类似的还有Large-N，都是perturbative RG的方法，可以很方便的sketch相图，但更深刻的理解需要求助于其他场论模型。

这边的一些说法完全是在statistical field theory的框架下（Euclidean spacetime），当然方法QFT也适用，但是维度不同有更深刻的影响，比如对称性，anomaly之类的问题。比如QED3会有Chern simons term而4d的没有