如何直观地理解衍生定价中用到的Change of Measure(测度变换)？

从金融学的角度，我个人并不推荐赋予资产定价中的change of measure以任何经济含义。我目前所知的各种对“在风险中性世界中进行期权定价”的阐释，要么毫无根据，要么在某个局部上提出了看似合情合理的见解，却在整体上缺乏统一的逻辑体系，纯粹为解释某一项/某几项的数学形式而解释，因此仍然不能自圆其说。我推荐的是：没有必要从经济学的角度解释资产定价——尤其是期权定价中的change of measure，和作为其结果的风险中性测度，而把它当做纯粹地为避免定义随机折现因子(stochastic discount factor, SDF)而引入的数学技术。

SDF又被称为定价核，如果读者有概率统计或者机器学习的背景，自然知道“核”代表什么。用最平实的话说，就是用积分求期望时多乘进去一个函数。资产定价的基本框架无非是告诉你，可以用未来payoff的数学期望来计算当前的价格，但不是直接求，而是求积分前得先乘一个函数。这个函数你把它当做单独的一个变量来理解，你就定义了定价核；如果你把它跟后面的微分形式dx看做一个整体，你就定义了一个测度，这两者必须定义一个才能计算资产价格。值得再次强调的是，这两者是等价的，无套利市场必然存在这样的一个函数和这样的定价方法，与任何具体资产、投资策略、自营或代客、多或者空都无关。

粗略地说，一切资产定价理论的问题，本质都是求解特定模型假设下的SDF表达式的问题。引入SDF概念的直觉如下：假设存在一类资产，其未来的payoff确定为 x （没有风险），且当前市场中的无风险利率是 r_f ，那么这类资产的当期价格应当是

p=\frac{x}{1+r_f}\\

也就是把未来的payoff用一个折现因子(discount factor) \frac{1}{1+r_f} 折现到当期。但是对于风险资产，其未来的payoff是一个随机变量，即未来状态的函数 x(\omega):\;\Omega\rightarrow \mathbb{R} ，因此对上述无风险定价方式的直观延拓是，定价的方式仍然采用将payoff用折现因子折现，但对每个未来状态 \omega\in\Omega ，都应当使用不同的折现因子，再对所有的状态按照真实概率计算数学期望得到价格。所以，折现因子也应该是未来状态的函数，即是一个随机变量。将这个用来代替无风险折现因子 \frac{1}{1+r_f} 的变量记作 \tilde{m}(\omega):\;\Omega\rightarrow \mathbb{R} ， \tilde{m} 即称作随机折现因子(SDF)。进而，对于任意未来payoff为随机变量 \tilde{x} 的资产，其当期价格都应表示为

p=\mathbb{E}[\tilde{m}\tilde{x}] \tag{1}

一般情况下，市场上存在许多种不同的风险资产，那么是否真的能存在随机变量 \tilde{m} ，使得对于市场上的每一种风险资产，其无套利的当期价格都满足(1)？资产定价第一基本定理(first fundamental theorem of asset pricing)证明了，无论有多少种无风险资产，只要当前市场是无套利的，那么就存在严格为正的SDF，使所有风险资产的当期价格和未来payoff都满足公式(1)。因此，在任何模型假定下，无套利定价问题都可以服从同一套分析框架：根据假设，计算出SDF的具体表达式，然后按照公式(1)计算数学期望，得到任意资产的当期价格。

接下来引入风险中性概率的概念，并不难看出所谓的风险中性定价只是公式(1)的另一种等价数学表述。不妨假设对任意事件 A\subset\Omega ，测度 \mathbb{Q}(A)=(1+r_f)\mathbb{E}[\tilde{m}\mathbb{I}_A] ，其中 \mathbb{I}_A 是指标随机变量，即当 \omega\in A 时， \mathbb{I}_A(\omega)=1 ；否则为0。不难证明 \mathbb{Q} 是一个合法的概率测度，而且由 \mathbb{Q}(A)=\mathbb{E}[\mathbb{I}_A] 可知 \mathbb{E}[\mathbb{I}_A]=(1+r_f)\mathbb{E}[\tilde{m}\mathbb{I}_A] ，进而

\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\tilde{x}]=(1+r_f)\mathbb{E}[\tilde{m}\tilde{x}]\tag{2}

这是由于粗略地说，任何随机变量 \tilde{x} 的取值都可以表达成 \tilde{x}(\omega)=\sum_i x_i\mathbb{I}_{A_i} 。结合(1)和(2)，即有

p=\frac{1}{1+r_f}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\tilde{x}]\tag{3}

也就是风险中性定价的一般形式。可以看出，(3)其实是对SDF定价方法的一种数学加工，并不需要为“风险中性定价”引入任何新的假设和新的概念，对于任何一般的资产定价问题(1)，都存在相应的、等价的风险中性定价法(3)，其引入完全不需要考量模型中可投资的资产、可拆借的利率、自营和代客投资，亦或是某几种资产的相对风险、包含关系、标的关系等等，因此令人不禁怀疑，有些对风险中性定价的阐释未免有过度解读之嫌了。

如上所述，求解SDF的思路几乎适用于任何定价问题。例如，在CAPM的模型设定下，有

\tilde{m}=\frac{1}{1+r_f}(1-\psi[\tilde{r}_m-\mathbb{E}\tilde{r}_m])\\

其中 \psi=(\mathbb{E}\tilde{r}_m-r_f)/var[\tilde{r}_m] 。不难验证，将 \tilde{m} 的形式代入(1)即可得到CAPM。

除此之外，对于Black-Scholes-Merton框架下的欧式期权定价问题，完全可以用同样的逻辑给出SDF的表达式，并证明风险中性定价法与其完全等价。首先将SDF的定义推广到连续时间情形，假设资产在未来的时间 T 给予payoff，并为此求解当前时间t 的无套利价格，那么引入随机变量 \Lambda_t ，并假设适用于将 T 时刻payoff折现到 t 的随机折现因子 m_{t,T}=\Lambda_T/\Lambda_t 。进而，在时间 t 与 T 之间定价的、公式(1)的延拓版本即为

p_t=\mathbb{E}_t[\tilde{m}_{t,T}\tilde{x}_T]=\mathbb{E}_t[\frac{\Lambda_T}{\Lambda_t}\tilde{x}_T]\tag{4}

BSM假设股价服从几何布朗运动(geometric brownian motion)，即

dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t\\

此处将指出，BSM框架下的SDF应当服从另一几何布朗运动，

d\Lambda_t=-r\Lambda_tdt-\frac{\mu-r}{\sigma}\Lambda_tdW_t\tag{5}

由于 m_{t,T}=\Lambda_T/\Lambda_t ，因此定义了 \Lambda_t 的动力学方程即为定义了SDF。此处稍微阐释一点(5)的含义：注意在上述CAPM的模型中，我们已经知道，风险资产的唯一风险来源就是市场的波动，即市场组合 \tilde{r}_m 的不确定性。因此CAPM的SDF中包含了 \tilde{r}_m ；对于多因子模型，已证明SDF应当表达为各风险因子的线性组合；类似地，对于期权定价的SDF，风险的唯一来源是股价的不确定性来源，即布朗运动项 W_t ，因此公式(5)中自然应当也含有布朗运动项。在更一般的框架中，还可以在(5)右端加上另一布朗运动项 \sigma_z dZ_t ，以表达与股价无关的各类其他风险，但该项不影响对欧式期权的定价，因此略去。

由Ito's lemma, 不难根据(5)解得，

d\ln \Lambda_t=-[r+\frac{1}{2}(\frac{\mu-r}{\sigma})^2]dt-\frac{\mu-r}{\sigma}dW_t\\

进而

\frac{\Lambda_T}{\Lambda_t}=\exp\Big{\{} -[r+\frac{1}{2}(\frac{\mu-r}{\sigma})^2](T-t)-\frac{\mu-r}{\sigma}(W_T-W_t) \Big{\}}\tag{6}

将(6)代入(4)，并设 \tilde{x}_T=(S_T-K)^+ ，即可通过求解积分解得Black-Scholes公式，详细的推导可以见Cochrane (2009)，其中并无特别困难之处。SDF(6)通过与(4)结合，同样可以为BSM框架下的其他资产定价。

不难看出，风险中性定价与上述SDF的方法是等价的。只需使用公式(2)，令新测度

\mathbb{Q}_A=e^{r(T-t)}\mathbb{E}[\tilde{m}_{t,T}\mathbb{I}_A]\\

由公式(1)~(3)，可知资产价格可以表示为 p_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}[\tilde{x}_T]\\

这与常用的风险中性定价公式一致。因此，由SDF定价法，可以推得风险中性定价。反之，在BSM框架中，常用的风险中性定价理论假设

\Theta(u)=\frac{\mu-r_f}{\sigma}\\

进而change of measure所需的Radon-Nikodym导数即为

Z_{t,T}=\exp\Big{\{} -\int_t^T\Theta(u)dW_u-\frac{1}{2}\int_t^T\Theta^2(u)du \Big{\}}=e^{-\frac{1}{2}(\frac{\mu-r_f}{\sigma})^2(T-t)-\frac{\mu-r_f}{\sigma}(W_T-W_t)}\tag{7}

从而导出风险中性测度 \mathbb{Q} 使得 Z_{t,T}=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} ，再使用 c_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}[(S_T-K)^+] 进行期权定价。将该定价公式改写为

c_t=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}[e^{-r(T-t)}\tilde{x}_T]\\

并注意到由测度变换的Girsanov's Theorem, 有

\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}[e^{-r(T-t)}\tilde{x}_T]=\mathbb{E}_t[e^{-r(T-t)}Z_{t,T}\tilde{x}_T]\\

且

e^{-r(T-t)}Z_{t,T}=e^{-[r+\frac{1}{2}(\frac{\mu-r_f}{\sigma})^2](T-t)-\frac{\mu-r_f}{\sigma}(W_T-W_t)}\\

右端正好是公式(6)的右端，因此 e^{-r(T-t)}Z_{t,T}=\frac{\Lambda_T}{\Lambda_t} 。所以风险中性定价的一般公式可以等价变换为

c_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}[(S_T-K)^+]=\mathbb{E}_t[\frac{\Lambda_T}{\Lambda_t}\tilde{x}_T]\\

其中 \tilde{x}_T 是 T 时刻资产的payoff, 这正是连续时间情形的资产定价基本公式(1). 所以，用SDF定价和用风险中性测度定价是两种等价的数学变换，这一点对BSM框架下的期权定价同样成立。简单地说，SDF和风险中性测度并不是两套”独立但是都可以定价的逻辑“，而是经由(3)而一一对应的小小的记号变换而已。这也就是为什么我一开始提到，并不推荐深究“风险中性世界”的经济含义，因为这样做其实没有很大意义。SDF的经济含义就是对于不同状态下payoff不同的资产，用同样不同状态下不同的折现因子折现到当期，而风险中性测度就是把随机折现因子 \tilde{m} 和数学期望 \mathbb{E} “合写”成 \mathbb{E}^\mathbb{Q} 的同一算法，合写前的SDF在合写之后稍作变换改名为Radon-Nikodym导数。从这种意义上，与其理解“为什么要变换测度”，不如理解SDF在这种model setting下为何有这样的表现形式，体现了怎样的风险来源，因为使用风险中性测度的情况下，Radon-Nikodym导数 Z 起到了与 \tilde{m} 相当的作用，但却因缺乏在定价公式中的直接体现而变得难以阐释。

补充：

下面有知友提出：为什么在连续时间情形下，要把SDF设置为一个除法形式？其实很简单，考虑一个离散时间多期定价的情形，假设一个资产在 t 时期的价格是 P_t ，那么应该有：

P_t=\mathbb{E}_{t}[m_{t+1}P_{t+1}]=\mathbb{E}_{t}[m_{t+1}\mathbb{E}_{t+1}[m_{t+2}P_{t+2}]]=\cdot\cdot\cdot=\mathbb{E}_{t}[\prod_{i=1}^{T-t}m_{t+i}P_T]\tag{8}\\

这里用到了叠期望公式。不妨设用来计算 T 时刻资产在0时刻价格的SDF（最基本的SDF定义）为 \Lambda_T ，则由(8)有

\Lambda_T=\prod_{i=1}^{T}m_i\\

由此，可以把(8)重写作

P_t=\mathbb{E}_t[\frac{\Lambda_T}{\Lambda_t}P_T]\\

由此可见，之前连续情形下把SDF写成某个随机过程在不同时间之间的商并非拍脑门，其实这样做并非因为连续时间，而是因为多期定价，连续时间是多期定价在极限情形下的推广。在上面的连续时间情形下设定 \Lambda_t 的随机微分方程，其实只是在设定把 t 时刻资产对0时刻定价的SDF的模型而已，这与一开始介绍的离散时间情形的逻辑是相符的。用来把 T 时刻payoff向 t 时刻定价的SDF，在这个框架下正好是把 T 时刻资产向0时刻定价的SDF与把 t 时刻资产向0时刻定价的SDF的比值，而非随意设定的。