度量空间 (metric space) 与测度空间 (measure space) 的关系？

其实没什么关系, 只是名字比较像.

粗略地说, 度量空间是能在上面定义收敛, 连续概念的空间, 比度量空间更一般的空间是拓扑空间, 在拓扑空间上也能定义收敛和连续概念. 而测度空间是能在上面定义(Lebsegue)积分的空间.

定义. (度量空间) (X,d)是一个集合, 其中的元素叫作点, 连同一个距离函数或度量d:X\times X\to [0+\infty), 它把X中的每一对点x,y指派到一个非负的实数d(x,y), 而且度量必须满足下述四条公理:

1. 对于任意的x\in X, 有d(x,x)=0.
2. (正性) 对于不同的x,y\in X, 有d(x,y)>0.
3. (对称性) 对于x,y\in X, 有d(x,y)=d(y,x).
4. (三角不等式) 对于x,y,z\in X, 有d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).

在很多情况下, 度量d是明确的, 从而我们把(X,d)简写为X

例. (实直线) 设\mathbf{R}是实数集, 并设d:\mathbf{R}\times \mathbf{R}\to[0,+\infty)是度量d(x,y):=|x-y|, 那么(\mathbf{R},d)是度量空间, 我们把d叫做\mathbf{R}上的标准度量.

例. (Euclidean 空间) 设n\geq 1是正数, 并设\mathbf{R}^n是n元有序实数组的空间:

\mathbf{R}^n:=\{(x_1,\cdots,x_n):x_1,\cdots,x_n\in\mathbf{R}\}.

定义Euclidean度量(也叫作d_{l^2}度量) d_{l^2}:\mathbf{R}^n\times \mathbf{R}^n\to[0,+\infty)为

d_{l^2}((x_1,\cdots,x_n),(y_1,\cdots,y_n)):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}=\bigg(\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\bigg)^{1/2}

定义. (\sigma-代数) 设X是集合, 一个在X上的\sigma-代数是X的子集族\mathcal{B}满足下述性质:

1. (空集) \emptyset\in\mathcal{B}
2. (补集) 如果E\in\mathcal{B}, 那么它的补集E^c:=X\setminus E也在\mathcal{B}中.
3. (可数并) 如果可数个集合E_1,E_2,\cdots\in\mathcal{B}, 那么它们的并集\cup_{n=1}^\infty E_n\in\mathcal{B}.

我们把集合X和在其上的\sigma-代数\mathcal{B}组成的序偶(X,\mathcal{B})叫做可测空间(measureable space).

例. 给定任意集合X, 平凡代数\{\emptyset,X\}和离散代数2^X:=\{E:E\subset X\}都是X上的\sigma-代数.

例. (Lebesgue 代数) 设\mathcal{L}[\mathbf{R}^d]是\mathbf{R}^d的所有Lebesgue可测子集构成的集合, 那么\mathcal{L}[\mathbf{R}^d]是\mathbf{R}^d上的\sigma-代数.

定义. (可数可加的测度) 设(X,\mathcal{B})是可测空间, 在\mathcal{B}上的可数可加的测度\mu,或简称为测度, 是一个映射\mu:\mathcal{B}\to[0,+\infty)满足下面公理：

1. (空集) \mu(\emptyset)=0.
2. (可数可加性) E_1,E_2,\cdots,\in\mathcal{B}是可数个互不相交的可测集序列, 那么\(\mu(\cup_{n=1}^\infty E_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)\).

三元组(X,\mathcal{B},\mu), 这里(X,\mathcal{B})是可测空间以及\mu:\mathcal{B}\to[0,+\infty)是可数可加的测度, 叫做测度空间.(measure space).

注意测度空间与可测空间的区别, 可测空间是能在上面定义测度, 测度空间是已经在上面定义了测度.