如何直观地理解衍生定价中用到的Change of Measure(测度变换)？

写点直观的理解，为什么定价时需要用Q measure而不是P measure？

举个简单的例子，在这个例子中，你可以直观地看到，什么叫“用P measure定价”，什么叫“用Q measure定价”，以及它们到底哪个是正确的

假设你处于当前时间，在一年之后有两种可能的状态发生：1和2（打个比方，状态1表示经济好，状态2表示经济差），它们发生的概率都等于0.5，现有三种asset：

A）一年后payoff（回报）恒等于1，目前价格是1

B）一年后，在状态2下payoff是1，状态1的payoff是0，目前价格是0.7

C）和B相反，一年后状态1下payoff是1，状态2没有payoff

请给C定价

（这个问题和无风险利率Rf无关，为了避免受其干扰，你可以认为Rf=0）

如果你的答案是0.5，说明你用的是P measure定价，你的求解方法是E[payoff]=0.5×0+0.5×1=0.5，大部分上过小学的人第一反应都是0.5，但这是错误的

之所以说是错的，是因为这种定价方法并不是no arbitrage（无套利）的，只要long A, short B（买入A，卖空B），就可以replicate C（复制C），这个复制品（replicating portfolio）由1股A和-1股B组成，这个复制品和C完全相同，既然复制品的价格是0.3，C的价格当然是0.3，这就是Q measure定价的思路

哪种定价更靠谱呢？显然是0.3，因为在市场中，即使有0.5的出价存在，套利者也会很快把价格逼到0.3

这个例子告诉我们，用第一种方式定价是不正确的，合理的定价是“使市场中无套利的价格”或“replicating portfolio的价格”即“Q measure定价”，而不是“期望的payoff”即“P measure定价”，尽管后者可能更符合我们直觉

也就是说，要想给C定价，我们必须找到市场中一些已经有价格的asset，想办法用它们replicate这个C

你可能会问，那又不对了，这题目假设是不是有问题啊？为什么asset B的市场价值会是0.7？明明就应该是0.5啊…

其实不然，随便举个例子，你持有asset B的话，相当于在状态2时给你1元钱，asset C相当于状态1时给你1元钱，如果状态1表示经济好，状态2表示经济差，你更愿意要B还是C？显然是经济差的1元钱，因为经济好的时候你钱包也鼓，不稀罕这1元钱，经济差的时候你饿着肚子，1元钱对你来说就很重要

这就是为什么市场上会出现这种情况，人们对asset B估价更高，并不是因为人们认为状态2更有可能发生，而是因为人们更稀罕状态2下的1元钱

不过，每次定价都要replicate有点麻烦，我们能不能有更简单的工具呢？那就是Q measure

Q measure本质上是一个probability measure，数学上probability measure的定义，就是给每个可能的状态分配一个概率，并且要求这些概率非负、加起来等于一

一开始我们说状态1和状态2概率都是0.5，但现在如果我们“强行”认为状态1发生的概率是0.3，状态2的概率是0.7，我们再来求一下几个asset的期望payoff，会得到什么？

A：E^Q[payoff]=0.3×1+0.7×1=1

B：E^Q[payoff]=0.3×0+0.7×1=0.7

C：E^Q[payoff]=0.3×1+0.7×0=0.3

神奇的事情出现了，“期望payoff”正好等于我们刚才算的“合理价格”

这个做法用数学式表达就是：E^Q[payoff]=0.3×1+0.7×0=0.3（以C为例），它表示payoff这个随机变量在Q measure下的期望

这里，Q的定义如下：Pr{状态1}=0.3，Pr{状态2}=0.7

顺便，在这个例子里P measure的定义是：Pr{状态1}=0.5，Pr{状态2}=0.5，是真实的概率

这个事情告诉我们，在Q measure下求期望payoff，就是合理价格，在P measure下求期望payoff，就不是合理价格

Q measure并不是真实的概率，也就是说，0.3并不是现实中某个事件发生的概率，而是通过市场中已有的asset及其价格推算出来的一套假想的“概率”，只是一个定价的工具，在这套概率下我们求期望payoff，恰好就等于价格

合理的定价需要去找replicating portfolio，不过有了Q measure这个工具，我们就不需要每次都去找replicating portfolio了（当然，Q measure本质上还是在找replicating portfolio）

=======扩充分割线，下边写的比较随意=======

如果无风险利率Rf不等于零，那么price=exp(-RfT)E^Q[payoff]

我们在求期望时，必须指定在哪个measure下求，例如在Q下就写作E^Q[X]，一般默认在P下求，就省略写成E[X]

Q的严格的定义是：在某种给定的折现方法（例如Rf）下，使得所有资产产品价格的process都是martingale的probability measure

如果引入utility的语言，则Q measure下状态i的概率，正比于P measure下状态i的概率 乘 状态i的marginal utility

离散时间离散状态：Q的求法是：Q=D^(-1)*S0，其中D是n行k列payoff矩阵，S0是n列初始价格向量，n是asset数量，k是状态数量

这里可以引申出一点点P quant和Q quant的区别，许多做ML的，做time series的，试图预测股价的，在derivative pricing里发挥不了太大作用，原因就是pricing都是在Q measure下做，哪怕你能准确预测到未来股价的期望E[ST]，定价时也不会使用，因为你求的那个期望是P measure下的