长沙理工大学大一高数期末考试题(精)

.word.zl.word.zl一、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16分)1,设f(x)=cosx(x+|sinx|),贝U在x=0处有(〔A〕f'(0)=22.〔B〕1—xf'(0)=1〔C〕f'(0)=0〔D〕f(x)不可导.P(x)=3—33；x,贝U当x91时(〔A〕〔C〕a(X)与0(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；〔B〕a(X)与0(X)是等价无穷小;MX)是比P(X)高阶的无穷小；〔D〕P(X)是比a(X)高阶的无穷小.3.F(x)=Jx(21—x)f(t)dt f(x) (_11) f，(x)〉0‘假设 0 ，其中f(x)在区间上(—1,1)二阶可导且f() ,那么〔〕.〔A〕〔B〕F(x)函数F(x)函数必在必在X=0处取得极大值;X=0处取得极小值;〔C〕〔D〕函数F(X)在X=0处没有极值:

函数F(X)在X=0处没有极值但点(°,F(°))为曲线^=F(X)的拐点；点©F(°))也不是曲线y二F(X)的拐点。4.设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2J1f(t)dt,则f(x)=(0x2—+2〔A〕2〔B〕2二、填空题〔本大题有4小题，〔C〕x-1〔D〕x+2每题4分，共16分〕5.2_lim(1+3x)sinxx-06.已知cosx是f(x)的一个原函数,则Jf(x).cosxdx=7.「兀/一兀.一2兀..一lim一(cos2一+cos2——+...+COS2innn8.三、12x2arcsinx+1,J - dx=工 \1—x22.解答题〔本大题有5小题，每题8分，共40分〕9.10.一,y=y(x)一 ex+y设函数 由方程1-x7 dx.x(1+x7)+sin(盯)=1确定求y'(x)以及y'(0)11.12.xe-x,22x—x2,0<x<求J1f(x)dx.-3设函数f(x)连续，g(x)=Jf(xt)dtlimfx)=4A gf(x)，且x-0x ,A为常数.求并g(x)x—0讨论在x-0处的连续性.13.xy'+2y=xInx求微分方程y(1)=满足9-的解.四、解答题〔本大题10分〕14.上半平面内一曲线四、解答题〔本大题10分〕14.上半平面内一曲线y=y(x)六、证明题16.设函〔本大题有2小题，每题4分，共8分〕f(x)工b」] ,数f(x)在 上连续且单调递减，证明对任意的qG[0,1](x>0) (0,1) M(x,y)，过点，且曲线上任一点0 0处切线斜率数值上等于此曲线与X轴、丁轴、直线*=*0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题〔本大题10分〕15 y=lnx y=lnx.过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及X轴围成平面图形D.⑴求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.fqf(x)dx>qff(x)dxff(x)dxff(x)dx=017.设函数f(x)在0兀上连续，且0ff(x)cosxdx.证明：.(0.兀) . 巳上在,内至少存在两个不同的点1,F(x)=ff(x)dxf也)=f也)=0.〔提示：设一、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕5.三、9.e61cosx(——)2+C,6.2x解答题〔本大题有5小题，每题8分，解：方程两边求导.7. 2.共40分〕8.ex+y(1+yf)+cos(xy)(xy'+y)=0ex+y+ycos(xy)y(x)= ex+y+xcos(xy)x=0,y=0y'(0)=-1

，10解.u=x77x6dx=duu+1)du・原式=1f土，=1u+1)du7u(1+u) 7u=7(lnlul—2lnlu+11)+c=llnlx71--lnl1+x71+C7 7

J1f(x)dx=J0xe-xdx+J1v'2x一x2dxTOC\o"1-5"\h\z11.解：-3 -3 0=J。xd(-e-x)+J11-(x-1)2dx-3 00+J0cos29d9(令x-1=sin0)-3 工=--2e3-1

4=--2e3-1

412.解：由f(0)=0，g(x)=Jf(xt)dt知g(0)=0知。Jxf(u)duxt=u=0 0xf(x)-Jxf(u)du(x手0)g'(x)=—0-

x2(x丰0)JxfJxf(u)dug'(0)=lim-0 =limxf0 x2 xf0f(x) A2x 2limg'(x)=lim13.limg'(x)=lim13.解：y二e」xf(x)-ff(u)duxf0 1dy2——+—y=Inxdxx—0-

x2AAA—-=—2 2,g(x)在x=0处连续。xddx(JexddxInxdx+C)11=—xInx一一x+Cx-2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 9\o"CurrentDocument"1 11y(1)=--,C=0y=xInx一一x9 3 9，四、解答题〔本大题10分〕V=2Jxydx+y14.解：由且“=-i-i，'将此方程关于％求导得y2y+y=2.特征方程：r2-r-2=0解出特征根:其通解为y=Cie一x+C2e2=2.代入初始条件1⑼二/⑼:代入初始条件1⑼二/⑼:1C得112C3， 2y故所求曲线方程为：五、解答题〔本大题10分〕15.解：〔1〕根据题意，先设切点为(x,lnx)，切线方程：y一lnx0由于切线过原点，解出xo二e,，从而切线方程为：1=-x

eA=f(ey一ey)dy=2e-1那么平面图形面积〔2〕三角形绕直线〔2〕三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1V那么11=一兀e23曲线y二lnx与x轴及直线*=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2V=fk(e一ey)2dy20D绕直线xD绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题〔本大题有2小题，每题4分，ff(x)dx-qff(x)dx兀，一一…V=V一V=-(5e2一12e+3)1 26共12分〕=ff(x)dx-q(ff(x)dx+ff(x)dx)证明：0=(1-q)ff(x)dx-qjf(x)dx0q30,些2e［q,1］q(1_q)f化)_q(1_q)f《)f(连f(t2)012故有：ff(x)dx>qff(x)dx0 0 证毕。F(x)=ff(t)dt,0<x<k证：构造辅助函数： 0 。其满足在［,k］上连续，在(,k)上可导。Ff(x)=f(x)，且F(0)=F(兀)=00=ff(x)cosxdx=fcosxdF(x)=F(x)cosx|k+fsinx•F(x)dxTOC\o"1-5"\h\z由题设，有0 0 0 0 ，fF(x)sinxdx=0 “有0 ，由积分中值定理，存在之€(0,兀)，使F化)sin-0即F化)=0综上可知F(0)=F化hF(兀h0,己e(0,兀).在区间［0,己］,也,兀］上分别应用罗尔定理，知存在己e(0,己)沫己e化,兀)F)=0F'&)=0即f&)=于也)=0右1 和2 ，使1及2，即1 2 .高等数学I解答一、单项选择题〔在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中〕(本大题有4小题,每题4分,共16分)1.(本大题有4小题,每题4分,共16分)1.当(A)XfXtaG),BG),…、，0时， 都是无穷小a(x)+|P(x)…，XfX-那么当0时〔D〕不一定是无穷小.(B)a2Q)+B2(X)a2(x)ln1+a(x)-p(x)] P(x)lim(sin^]i2.极限X-'sinaJ的值是〔c〕.ecota etana〔A〕1〔B〕e〔C〕e〔〔A〕1sinX+e2aX-1f(X)=<3.X二0在X=0处连续那么a=3.X二0在X=0处连续那么a=〔〕.〔A〕1〔B〕0〔C〕e〔D〕-14.设f(x)在点X=a处可导limf(a+h)-f(a-2h)那么hf0〕.〔A〕3fXa)〔B〕2f'(a)〔D〕(C)f(〔D〕二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕TOC\o"1-5"\h\zln(X+a)-lna 1lim— (a〉0) —.极限xf0 X 的值是a.y2sin2x+—+yexy.由咏+丁lnX=cos2X确定函数丫⑼那么导函数y'=- x .xexy+lnxrl1MM(1,2,3) X+2y-z=0,2x-3y+5z=6 ，.士八/〃、.直线1过点 且与两平面 都平行，那么直线”的方X-1y-2z-3程为1 -1 -1 ..求函数y=2X-ln(4X)2的单调递增区间为〔一¥,0〕和〔1,+¥〕.三、解答题〔本大题有4小题，每题8分，共32分〕lim(1lim(1+X)X-e.计算极限Xf0 Xlim(1+X)二，=elim:""-1一1二elim1n(1+X)-X解：10.：141=3|IT1=26解：cos0=13i 12sin0=11一cos20=— —13axb=72,11.设f(x)在［a,b］上连续，且F(x)=j(x-1)f(t)dtxe[a,b]，试求出F(x)。F(x)=xjf(t)dt-ftf(t)dt解：Ff(x)ff(t)dt+xf(x)-xf(x)=ff(t)dtaF〃(x)=f(x)cosxx——dx.12.求 sin3xcosx1x———dx=- xdsin-2x解： sin3x21xsin-2x+1fsin-2xdx=-1xsin-2x-2 2 2，cotx+C2四、解答题〔本大题有4小题，每题8分，共32分〕fdx2x%：x2-113.求'3令-=t

x原式二ft—.1 (-X)dt工1，1 1 122—' -1tt12y二14.求函数33.=arcsint2 兀1=N2 62x1+x2的极值与拐点.解：函数的定义域〔－¥，+¥〕，二2(j)(1+x)y〃

(1+x2)2-4x(3-x2)

(1+x2)3[y'=0,一' .令得x1=1,x2=-1y"(D<0 y7-1)>0y()x1=1是极大值点，y()"y"=0令〉 得x。=0,x八",x5=J3x(-¥,-03)03,0)。飞活)(43,+¥)极大值y⑴=1,极小值y(-1)=-1x=-12是极小值点y〃++，故拐点〔-<3v3 _<32〕，〔0,0〕〔v3,2〕y15.求由曲线y15.求由曲线4与y-3%-工2所围成的平面图形的面积.x3解:一二3x-x2x3解:一二3x-x2, x3-12x+4x2=0,4x(x+6)(x-2)=0,x--6,x-0,12Jo-6x4x=2.3x3 2 x3(——3x+x2)dx+(3x—x2——)dx4 04一—-x2+162x3二45+23=47-16.设抛物线的面积最大.3y=4-x2上有两点A(-1,3),B(3,-5),在弧人b上，求一点P(x,y)使AABP解：AB连线方程：y+2x-1=0 |AB|=4、；5点P到AB的距离点P到AB的距离|2x+y-1|_-x2+2x+3■<5■<5(-1<x<3)AABP的面积=2(—x2+2x+3)S(=2(—x2+2x+3)S'(x)=-4x+4当x=1 Sf(x)=0S〃(x)=-4<0当x=1时S(x)取得极大值也是最大值此时y=3 所求点为(1,3)另解：由于AABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线的切线与AB平行时,高可达到最大值，问题转为求C(x，4-x2)00,使f'(x)=-2x=-5-3,使f'(x)=-2x=-5-3六、证明题〔本大题4分〕17.设x>0，试证e2x(1-x)<1+x.证明：设f(x)-e2x(1-x)-(1+x),x>0f'(x)-e2x(1-2x)-1f"(x)--4xe2x，，x>0,f"(x)<0，因此f'(x)在〔0，+¥〕内递减。在〔0，+¥〕内，f'(x)<f'(0)-0,f(x)在〔0，+¥〕内递减，在〔0，+¥〕内，f(x)<f(0),即e2x(1-x)-(1+x)<0

亦即当x亦即当x>0时，高等数学IAe2x(1—x)<1+x一、单项选择题〔在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中〕(本大题有4小题,每题4分,共16分)18.函数1n(x+1)Jx>1x-1一 兀一f(x)={tan—x, 0<x<12x+sinx,x<0〔 的全体连续点的集合是〔〕(A)(-8,+8) (B)(-8,1)U(i,+8)(C)(-8,0)U(0,+8) (D)(-8,0)U(0,1)U(1,+8)19.lim(xT819.lim(xT8-ax-b)=0那么常数a,b的值所组成的数组〔a,b〕为〔〕〔A〕〔1，0〕〔B〕〔0，1〕〔C〕〔1，1〕〔D〕〔1，-1〕20. 设在［0，1］上f(x)二阶可导且八x)>0，那么〔〕〔A〕f'(0)<f'(1)<f(1)-f(0)(B)f'(0)<f(1)-f(0)<f'(1)f'(1)<f'(0)<f(1)-f(0)①］f(1)-f(0)<f'(1)<f'(0)n2sinn2sinxcos4xM=J 、21.那么〔A〕dx,N=f(sin3x+cos4x)dxP=f(x2sin3x-cos21.那么〔A〕〔〕M<N<P〔B〕P<N<M〔C〔C〕P<M<N〔D〕N<M<P二填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕mx>1d(x2arctan<x-1)=设 〔〕Jf(x)dx=sinx+c,Jf(n)(x)dx=〔〕设 那么〔〕x-4_y_z-5士八、e2-mn6+p直线方程 ，与xoy平面，yoz平面都平行，那么mn,p的值各为〔 〕limZL匕:二x-i=1n2 〔〕三解答题〔本大题有3小题，每题8分，共24分〕

lim1.lim1.计算x-01x2cos—,x2.设x~0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f(x2.设3,设函数)=f(x)在(7,内)连续，在x比时二阶可导，且其导函数f(x)的图形如下列图，给出f(f(x)的极大值点、极小值点以及曲线》=手(x)的拐点。四解答题〔本大题有4小题，每题9分，共36分〕x+2、dxJ(—?)2—.求不定积分x-1xfllnfllnx|dx1.计算定积分exyz-1 7x-1y-2z-3l:一=二= l: = = 求过直线11且平行于直线12的平面方3,直线求过直线11且平行于直线12的平面方程。81——兀y=ax24. 过原点的抛物线y 及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为5，确定抛物线方程中的a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。五、综合题〔本大题有2小题，每题4分，共8分〕1■设"x)=(x-1)2f(x),其中f(x)在区间［1,2］上二阶可导且有f(2)=0,试证明存在工11<己<2］使得F"化)=0。f(x)=f(t-12)sin2ntdt(x>0)2.0(1)求f(2.0(1)求f(x)的最大值点;(2)f(x)<证明：(2n+2)(2n+3)一、单项选择题BC.二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕x(1 +4arctanv二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕x(1 +4arctanv;x-1)dxdy=2<x-1.jf(n)(X)dx=JC0S(X+nf)dx=Sin(X+9)+。m=2,p=-6,n牛0.2("D三、解答题〔本大题有3小题，每题8分，共24分〕9.11lim(^—--)(8分)计算极限x-0sin2xx2解：1 1 x2-sin2xlim( —)=lim x.0sin2xx2x.0x2sin2xx-sinxx+sinxlim x.02limx31-cosxx.03x21x2cos—,x10.(8分)设x解：当>0,f'(x)=2xcosxV0 , f(10.(8分)设x解：当>0,f'(x)=2xcosxV0 , f(x),e,试讨论f(x)的可导性，1—+sin—x；；x<0,f'(x)=1当f'(0)=limAx.0+1

Ax2cos——-0AxAx=0f'(0)=lim- Ax.0-故f(x)在x=0处不可导。并在可导处求出f(x).Ax-0 =1AxfQ)=2xcos1+sin1[1x>0x<011.(8分)设函数y="x)在(-8,+8)连续，在"0时二阶可导，且其导函数f(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y二f(x)的拐点.11.解：极大值点：x=ax=d极小值点：x=b拐点(0,f(0)),(c,f(c))

四解答题〔本大题有4小题，每题9分，共36分〕12.(9分)求不定积分J(4+-解：原式=xTOC\o"1-5"\h\zf(x-2)2dxx12.(9分)求不定积分J(4+-解：原式=x\o"CurrentDocument"1 -3 + )dx(x-1)2 x-1一1一一，_4lnx- -3lnx—1+c4lnJ/n(9分)计算定积分e1解：原式二eJ1(-J/n(9分)计算定积分e1解：原式二eJ1(-lnx)dx+J。Inxdx-(xlnx-x)］：+［xInex-xe1-2-2el.x_y-1

:(9分)直线11 2 3*224，求过直线l1且平行于直线！的平面方81兀及y81兀及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为5i兀a2o)由得55故&=9抛物线为：y—9x2程.n=.2xs=(122,3)x(2,5,4)—(-7,2,1)解：12取直线l1上一点M1(0,0,1)于是所求平面方程为-7x+2y+(z-1)—0y—ax2(a>0)(9分)过原点的抛物线求a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.―f―f2兀x•9x2dx=18兀x44，其中f(x)在区间［1,2］上二阶可导且有f(2)=0.证明：存在,V绕y轴一周所成的旋转体体积：五综合题〔每题4分，共8分〕(4分)设F(x)=(x一 x5" x5〔1<&<V=J兀(ax2)2V=J兀(ax2)2dx—兀a2-证明：由f(x)在［1,2］上二阶可导，故F(x)在［1,2］二阶可导，因f(2)=0，故F(1)=F(2)=0Lx- x,(1<x<2),F'(x)―0在［1,2］上用罗尔定理,至少有一点0 0使0F(x)―2(x-1)f(x)+(x-1)2f(x)彳口F'(1)=0得在［1,xj上对F(x)用罗尔定理，至少有点<(1<:<x0<2)F化)—0(4分).

解：〔1〕x=1为f(x)的最大值点。x>1，f'(x)=(x—x2)sin2nx，当0<x<1，f'(x)=(x—x2)sin2nx>0；当f'(x)=(x—x2)sin2nx<x>1，。为极大值，也为最大值。f(x)=Jx(t—t2)sin2ntdt<f(1)〔2〕(2n+2)(2n+3)f(1)=J1(t-12)sin2ntdt<J1(t-1(2n+2)(2n+3)高等数学上B〔07〕解答1．2．填空题：〔共24分1．2．填空题：〔共24分y=sin[sin(x2)]J+sadx二兀―81+x2每题4分〕

dy那么dxc~2xcos[sin(x2)]cosx2a=__1Je|lnx|dx=2一23．4．4．>=ex过原点的切线方程为丁=ex5．65．6．a=2，那么点(1,3)是曲线>=ax3+bx2的拐点。二、计算以下各题：〔共36分，每题6分〕1,求>=(sinx)1,求>=(sinx)cosxy'=(ecosxlnsinx解：Jsinlnxdx的导数。)'=ecosxlnsinx(一sinxInsinx+cotxcosx)2．求 。Jsinlnxdx=xsinlnx-J解：=xsinlnx-xcoslnx-Jcoslnxdxsinlnxdx33．求J解：1=2(xsinlnx-xcoslnx)+CTOC\o"1-5"\h\zx+5 7-dxxx2-1x+57 1fd(x2-1) 5 7—, ——dx=—J—, —dx+J—. ——dxxx2—1 2xx2—1xx2—1=xx2—1+5lnIx+vx2—11+C4.x>0x<0,,x=0ck,,在点 处可导，那么k为何值?f，(0)=lim一=limxk-1解： x—0-x xf0-f'(0)=limex—1 =1x5.求极限nfg解：lim(1 +:1 +…+nn2+12 7n2+22lim(nfg+—,+- -nn++n2limZnfg <n2+k2k—1limZ11+qnn21nfg71k=1=ln(x+<1+x2)|1=ln(1+<2)

06.求过点(2,2,0)解：两x+2y—z+1=012x—y+z=0且与两直线、x-和和0和jxyz=0平行的平面方程。直线的方向向量分别为s=(1,2,—1)X(1,—1,1)=(1,—2,—3),s=(2,—1,1)X(1,—1,1)=(0,—1,—1)1 2n=(1,—2,—3)x(0,—1,—1)=(—1,1,—1),平面的法向量平面方程为x-y+z=0。三、解答以下各题：〔共28分，每题7分〕x=Rcost1.设y=Rsintd2y，求dx2dy—=—cott解：dxd2y 1 =(—cott) dx2 t—Rsint1

=- Rsin312.F(x)=Jxt(t—1)dtr_191求 0 在[1,2]上的最大值和最小值。如F'(x)=x(x—1)=0,x=0,x=1解：F(0)=0,F(1)=\11(t-1)dt=-1,06F(-1)=J-11(t-1)dt二一5,F(2)=\21(t-1)dt=2TOC\o"1-5"\h\z0 60 325— ——最大值为3，最小值为6。3.设丁=>(%)由方程x(1+>2)-ln(x2+2yx0确定，求y'(0)解：方程x(1+y2)-ln(x2+2y)-0两边同时对x求导2x+2y'八(1+y2)+2xyy --0x2+2y1x-0,y--将 2代入上式y'(0)——84.求由y-x2与y2-x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。V-J1兀(y-y4)dyTOC\o"1-5"\h\z解： 03— 兀10四、证明题：(共12分，每题6分)xy1 OXOY.证明过双曲线xy 任何一点之切线与 , 二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。证明：双曲线 -1上任何一点(x'y)的切线方程为1y-y-- (X-x)x21切线与x轴、y轴的交点为(0,y+切线与x轴、y轴的交点为OXOy故切线与,二个坐标轴所围成的三角形的面积为.设函数/(x)与g(x)在闭区间［a,b］上连续，证明：至少存在一点之使得f化g(x)dx-g(己)J&f(x)dxF(x)-Jbg(x)dxJxf(x)dx证明：令 x aF(a)-F(b)-0，由Rone定理，存在一点”[a,b],使F'&)-0，即f(g)Jbg(x)dx-g(g)Jgf(x)dx高等数学上解答〔07〕一、单项选择题〔每题4分，共16分〕1f(x)-xCOSxe-IsinxI(-8<x<+8)是A〔A〔A〕奇函数；〔B〕周期函数；〔C〕有界函数;〔D〕单调函数2.当xT0时，於x)-(1-COSx)ln(1+2x2)与,是同阶无穷小量。〔A〕x3；〔B〕x4；〔C〕x5；〔D〕x2Jx-2y+z=03.直线Ix+y一2〔A〕x3；〔B〕x4；〔C〕x5；〔D〕x2Jx-2y+z=03.直线Ix+y一2z=0与平面x+y+z=1的位置关系是c。〔A〕直线在平面内；〔B〕平行;4．设有三非零向量〔A〕0；〃涉,c。假设〃包二°,垂直；—►—►—►axe=0〔D〕相交但不垂直。1．2．3．4．〔B〕-1；〔C〕1；，那么b・c=」〔D〕3、填空题〔每题4分，共16分〕曲线y=lnx上一点P的切线经过原点（0,0）,点p的坐标为（e,1）limxf0tanx一x1x2(ex—1) 3方程ey+6xy+x2-1=0确定隐函数y=y(x)，那么y'⑼=」曲线y=x2、x=1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为5三、解以下各题〔每题6分，共30分〕t一sin2xf(x)=lim( )t1．，求f，（x）t一sin2x、f(x)=lim( )t=e—sin2x解：f'(x)=—e—sin2xsin2xJ[ln(lnx)+—]dx2．求不定积分 lnx。J[ln(lnx)+]]dx-Jln(lnx)dx+J-^—dx解: lnx lnx=xln(lnx)—J1—dx+J~^—dxlnxlnx=xln(lnx)+C\1x2（3．计算定积分一1sinx1+x4+\11-X2)dxJ1x2(解：一1sinx1+x4+\：1-x2)dx=J1(x2<1—x2)dx—11sinx+J1x2 dx—1 1+x4=J1(x2\：1一x2)dx+0—1x==nt2J2sin21cos2tdt0兀sinxdx+J dx1+cosx1xdcosx=sec2—dx- 2 2 1+cosxx=tan——In11+cosxI+C25f，Qnx)=x且f(1)=e+1求f(x)5． ，且 ，求解：令1nx=t,f(()=ef(x)=ex+Cf(1)=e+1f(x)=ex+1，1四、〔8分〕设f(x)对任意x有f(x+1)=2f(x)，且 2。求f(1)。解：由f(x+1)=2f(x),f(1)=2f(0)f，(1)=limf(x)-f(1)TOC\o"1-5"\h\zx—1 x—1x=t+1].f(t+1)-f(1)=lim t—0 t=lim2f(t)-2f(0)t—0 t=2f(0)=-1五、〔8分〕证明：当x>1时，(x2-1)1nx>(x-1)2。证明：只需证明(x+1)1nx>x-1。f(x)=(x+1)lnx-x+11f(x)=1nx+->0x,f(x)在[1,+8)单调递增。f(1)=0当x>1时f(x)>0即(x2-1)1nx>(x-1)2，当时， 。即 。六、〔8分〕F(x)=JYx2-t2)f"(t)d f〃(x) y.0 F'(x)"0 ,f(x)连续，且当x—0时，F(x)与x2为等价无穷小量。求f(0)。「F'(x)1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"lim =1解：x—0x2F(x)=Jx(x2-t2)f"(t)dt=x2Jxf"(t)dt-Jxt2f"(t)dt0 00F'(x)=2xJxf〃(t)dt+x2f〃(x)-x2f〃(x)=2xJxfn(t)dt00F'(x) 2xJxf〃(t)dt 〃lim =lim 0 =2f(0)x—0x2 x—0 x21f〃(0)=-七、〔8分〕设有曲线丁=4x2(0"x"1)和直线>=c(0<c<4)。记它们与丁轴所围图形的面

=A+A=A+A1 2最小？积为1，它们与直线4 1所围图形的面积为2。问c为何值时，可使并求出A的最小值。A=A+Ady+J4解： 1 2 02 cA，(c)=Cc-1令A'(c)=Jc-1=0得c=1令 ，彳得1Aff(1)=->02 ,c=1为最小值点。=1minA=J1^-ydy+f4(1-=102 1 2八、设f(x)八、设f(x)证明：证明：在(ab)内的点%处取得最大值，且If'(a)1+\f(b)l<K(b-a)f'(x)=00If"(x)I<K(a<x<b)在在［a,x0］对f(x)应用拉格朗日定理ff(x)-ffff(x)-ff(a)=f〃(己)(x-a)(a<&<x)1010ff(a)=f〃化)(a-x),If'(a)I<K(x-a)10在［x0,b］对f(x)应用拉格朗日定理ff(b)-ff(x)=f«)(b-x)(x<&<b)

0 2 0 02f'(b)=f汽)(b-x),f'(b)I<K(b-x)20 0一、单项选择题〔在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中〕(本大题分5小题,每题2分,共10分)设I=J'x-1dx,则I=ex+1ln(ex-1)+c(B)ln(ex+1)+c;2ln(ex+1)-x+c;x-2ln(ex+1)+c.答()11 2 n-1lim\en・en・・•en・e=n-8(A)1(B)%e (C)e(D)e2答()

f(x)=3的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余嘛(x)=()(式中0<e<1)1一X n(一1)n(A) 1 Xn+1 (B) (一— Xn+1(n+1)(1一eX)n+1 (n+1)(1一eX)n+1(一1)n(C) 1 Xn+1 (D) 一(-———Xn+1(1一eX)n+2 (1一eX)n+2答()设f(x)在x=0的某邻域内连续且f(0)=0,limf)=2,则点x=0X-01-cosX(A)是『(X)的极大值点 (B)是『(X)的极小值点(C)不可(X)的驻点 (D)是f(X)的驻点但不是极值点答()曲线y=x2-2x+4上点M(0,4)处的切线MT与曲线y2=2(x-1)所围成的平面00图形的面积A=21 4 9 13(A)-- (B)-(C)-(D)--4 9 4 12答()二、填空题〔将正确答案填在横线上〕(本大题分5小题,每题3分,共15分)设y=In|1+tan(x+—)，则Uy，= 1、 ％ X用切线法求方程x3-2X2-5x-1=0在(-1,0)内的近似根时，选％并相应求得下一个近似值X则X。,X分别为 1。 0 1 。3、4、5、3、4、5、x-1y+1z-1设空间两直线1 2 )与X+1=y-1=z相交于一点，那么sinx+e2ax一1f(x)=\Xa ,，当X牛0当X=0在X=0处连续，JIxdx=，其中b是实数.0三、解答以下各题(本大题4分)—^—^、九千五兀aw人^^a=3i+j七b=i+j—4k c=2i—6j—k.设平面”与两个向量 ,和 平 平行，证明：向量 与与平面兀垂直。四、解答以下各题(本大题8分)讨论积分J1dx-的敛散性.0Xp五、解答以下各题(本大题11分)

导出计算积分I=J—d^^的递推公式，其中n为自然数。nXn\：X2+1六、解答以下各题(本大题4分)Jx+2y-z-5=0垂直的直求过00（4,2,一3）与平面8x+y+z—10=0平行且与直线11zT°=0垂直的直线方程。七、解答以下各题(本大题6分)计算极限lim-+xsinx-cos2Xx-0 xtanx八、解答以下各题(本大题7分)试求I=Je(lnx)n力的递推公式(n为自然数)，并计算积分Je⑪x)3dxn11九、解答以下各题(本大题8分)设f(x)在(〃,b)内可微,但无界，试证明f(x)在(〃,b)内无界。十、解答以下各题(本大题5分)设lim①(x)=u，limf(u)=f(u),证明:limfLp(x)」=f(u)x-x0 0u-u0 0 x-x0 0十一、解答以下各题(本大题4分)在半径为R的球内，求体积最大的内接圆柱体的高十二、解答以下各题(本大题5分)12仅4AB cosa= ,cosp=-AB重量为p的重物用绳索挂在A,B两个钉子上，如图。设 13 5,求A,B所受十三、解答以下各题(本大题十三、解答以下各题(本大题6分)一质点,沿抛物线y=x(10-x)运动,其横坐标随着时间犯勺变化规律为x=C(t的单位是秒,x的单位是米)，求该质点的纵坐标在点M(8,6)处的变化速率.十四、解答以下各题(本大题7分)设曲线x=京,x二.v2-yr及y=0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;

（2）求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.、单项选择题〔在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中〕（本大题分5小题,每题2分,共10分）1、2、3、4、5、C答：BC〔B〕C二、填空题〔将正确答案填在横线上〕（本大题分5小题,每题3分,共15分）1、(1——)sec2(x+—)x2 x2(1+tan(x+—))

x2、x0-0110分10分5分10分3、4、-1b2《0,b-0b2 ,5、105、10分三、解答以下各题（本大题4分）-{—4,12,2}—4平面法向量n--2n与c平行从而平面与c垂直。四、解答以下各题（本大题8分）4分8分10分 . 1一pxp-1当p牛1时，1dx1dx1——二hm1——=lim(0xpSf+0expSf+0-limgf+01—p(1-—)

ep—1+8,p>1当p二1时，dxdx=limInx1=+80XP0X ef+0J1空当P<1时收敛，当P>1时发散.0Xp5分7分10分五、解答以下各题（本大题11分）=J-1—d\X2+1Xn+1三I+(n+1)J三1dxxn+1xn+23分vx2+1 1+x2 +(n+1)J dxXn+1 Xn+2%：X2+1lxi!1+(n+1)JXn+1Xn+2X2+1dx+(n+1)JdxrXn\X2+1-<x2+1Xn-1+(n+1)I+(n+1)In+2 n故In+2(n+1)Xn+1 n+1I=In1+c，In(n-1)Xn-12-n+——I (n>2)n—1n-2I=ln[1+x2+x+c0dX=sec2tdtsec2tdttanntsectsectJ dttanntJdsecttann+1tsect +J(n+1)tann+1tsec3t dttann+2tsec^+J(n+1)sec3tdt+(n+1)J^ec^dttann+1ttann+2ttannt7分10分3分5分Xn+1+(n+1)(I +I)n+2n・•・In+2n+1VX2+1(n+1)xn+1，In(n-1)Xn-12—n+——I(n>2)n—1n-2=In+c=Inv'1+x2+x+c.7分10分六、解答以下各题（本大题4分）兀的法向量为n={1,1,1}={2,-1,0}1的方向向量为所求直线方向向量为3分W -F 即S=nXS={1,2,—3}1从而所求直线方程为

x—4y—2z+37分-310分七、解答以下各题（本大题6分）原式=lim1+XsinX-cos22Xxf0xtanx(<1+xsinx+cos2x)xsinxsin22x=一lim( + )xf0xtanx xtanx=—(1+4)=—2 2八、解答以下各题（本大题7分）=Je(lnX)ndx1=xInnx—nJe(lnx)n—1dx1=e—nIn—13分7分10分4分于是In1=e—ne+n(n—1)e—•77分=e—ne+n(n—1)e—+(—1)n—1n(n—1)2e+(—1)nn!(e—1)所以J，(lnx)3dx=e—3e+6e-6(e-1)1所以10分九、解答以下各题(本大题8分)证明:反证设f'(x)在(。,b)内有界,即mM>0则Vxem,b)2分5分8分有2分5分8分取xe(a,b)则对Vxe(a,b),xwx在以x与x为端点的区间上f(x)0 00满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在之介于x与x之间，使0f(x)—f(x)=f'化)(x—x)00即If(x)1<|f(x0)|+|f«)|(b—a)=\f(x0)|+M(b—a)记为K即f(x)在(a,b)内有界与题意矛盾，故假设不正确，即ff(x)在(a,b)内无界.10分十、解答以下各题(本大题5分)由limf(u)=f(u)TOC\o"1-5"\h\zu-u0 0任给s>0,存在“>0使当u—u01〈”时，恒有|f(u)—f(u0)|<s 4分又lim①(x)=u，取s="，存在5>001x-x0使当0<|x—x|<b时，取x)—u|<“ 8分故当0<|x—x0|<b时，就有\fb(x)]—f(u0)|<s成立因此limfL(x)]=f(u)xfx0 0 10分十一、解答以下各题(本大题4分)设内接圆柱体的高为2,则圆柱体的底面半衿=泮2—(h)22其体积为V=兀h(R2—h2-)0<h<2R4 4分3V，=兀(R2—4h2)唯一驻点h=空R33V〃=一_兀h<02 8分#分.word.zl.word.zl2、3、=lim6xx-212x-1810分(本小题2分)J(ex+1)3exdx=J(ex+1)3d(ex+1)1=-—(ex+1)4+c.4（本小题4分）5分10分x=sect4分原式=J3tan24分6分3(sec2t-1)6分(tant-t)|-K-8分：3兀

~4、（本小题7分）J|x|dx=x22F+c1x>0,10分x2+c2x<0.5分由原函数的连续性,得5、lim(x2+c)=lim(-1=c2x2+c2)c=c2/.J|x|dxx21~+c,x2~T,（本小题8分）因为>0,x2+c.10分3分.word.zl.word.zl，_:E(-1)xn1+x而 n-05分1-_1£3Lxx xn所以 0n-0 01_£(1)-1n(x—x)-1x2 xn+1n-0 0五、解答以下各题(本大题5分)由题意,知:x£(0,2x)0x£(0,2x)010分Ixl<2时，级数绝对收敛；1x1>2时，级数不可能收敛.4分故收敛半径是2.六、解答以下各题（本大题共2小题，总计16分）1、（本小题7分）…8分10分a3总面积为A-3xy-3x(一——X)42dA3a——-——-9xdx4d2Adx2--9<0故当x喋时,A取得唯一极大值也是最大值此时a3aa————X ——42128故当x=gy-8时,所求总面积最大2、（本小题9分）解:y—2e2x.二.切线y-2e210x,设切点Q,e21o),

0y-e2t0,y-2e2t0t0切线y-2ex,1切点(-,e).•・S-J曝2xdx81———e2x2T12——e-8 43分6分8分10分3分6分8分10分七、解答以下各题（本大题6分）f(0)=1,f(0—0)=limln(1—x)=0x—0—0f(0+0)=limcoshx=1x—0+0f(x)在x=0处不连续，故不可导sinhx,x>0,f，(x)=<—1 ,x<0,〔1一x八、解答以下各题（本大题6分）原式=limax-bxx—02ln(1+2x)limx—0axIna一bxInb1+2x1a—ln—4b九、解答以下各题（本大题12分）因为r2=x2+f2(x),9=arctanf(x),xd9=xx'(x)-f(x)dxx2+f2(x)于是Jbr2(9)d9=fb[xf'(x)—f(x)^dx=Jbxf，(x)dx—Jbf(x)dxaxf(x)b—Jbf(x)dx—Jbf(x)dxa所以=bf(b)—af(a)—2Jbf(x)dxa2Jbf(x)dx+Jbr2(9)d9=bf(b)—af(a)一、一、a填空3分5分10分5分10分4分6分8分10分1.1.cosxf(x)=〈aa—aa—x ,x<0(a>0)当a=时，x=0是f（x）的连续点。解：1f(0)=-lim2x—0+cosxlimx-0—v,a—va—x故a=1时x=0是连续点a丰1时x=0是间断点。y'=4

y2lim3．y'=4

y2lim3．x-01+acos2x+bcos4xx4=A，那么a=,b=,A=。设方程x-y+arctany=0确定了)=y(x)，求—2． dx1-y，+—y—=0解： 1+y2解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1+a+b=0,用一次罗必达法那么分子仍为无穷小，有a+4b=0解出：a=-4/3b=1/3代入求得极限A=8/3,v=x2x.函数vX的极小值点为y，二2x解：y极小值点。.设f(x)=x1In2,v=x2x.函数vX的极小值点为y，二2x解：y极小值点。.设f(x)=x1In2,y( ( ))在驻点处y'’>0,故驻点为Inx在x0处可导，且f'(x0)=2，那么f(x0)=。解：f(x)=lnx+1,由f(x)=2知x=e,于是有/(x)=e.

00.设limx-0x2一1,那么f(x)在x=0取得 〔填极大值或极小值〕。解：•.TimfQ)-fA)=T,由极限的保号性有但一皿<0,有f(x)-f(0)<0x-0 X2 /、 /、 X2即在x=0的某邻域内有/Q)<f(0),由极值定义知^=0是极大值点。函数1(x)=<xx0,x<0 、 ，…是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。解：当x>0及x<0时，，f(x)为初等函数，连续limf(x)=limx-^0+x--0+j1+x—1一―二\：x x-0+\：1+x+1limf(x)=0=limf(x)=f(0)/.f(x)在(一叫^标续。x-0+Sx>0Sx>0时，f'(x)=<1+x-12x3/2<1+x,当x<0时，f'(x)=0V1+0+x x-00+x x-0+ x x-0+f(x)-f(0) x—— 「lim =lim =lim/.f(x)在x=0不可导，f'(x)=<v；1+x-12x3/21+x0x>0,x<0(1+2xlim 解以下各题2x一11．x-0x2G+2x)2xlim G+2x)2xlim 解：原式=xt0limxT9,L _L3x+3―x2=lim9xT921 13x—3—x ln3limln3(3x+3—x)=xT9Gn3%21nG+2x)+I 1+2xJ((4 =2+2=42xlimx2(3：+3-x—2)2.xT9 ；设曲线方程3设曲线方程33.x=t+2+sint解：原式=y"c0st ，求此曲线在x=2的点处的切线方燃dx2x=2x=2时y=1,t=01—sint1+costyr\t=0切线方程：y-1=2Q-2)解:sin解:sint—cost—1y 1+cost)3sin0—cos0—1-G+cos0)3-四、四、试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在x=0处有极大值为1,并求此函数的极小值。解：y'=3x2+2ax+b,y'(0)=0nb=0,y(0)=1,c=1.y"=6x+2a,y"(1)=6+2a=0,a=—3.y=x3—3x2+1,y'=3x2—6x=3x(x—2)y'=0时，驻点:五、五、x=0,x=2,y"(0)=6>0.「.极小偷(2)=—3。1 2假设直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L,那么s=—x*(L—x)22、 x 不丁—x2=—L2—2Lx2lL——2LxLL—3x2vL——2Lx令s'=0nx=L这是唯一驻点，且最塘存在，故l2.一.一 =为最大面积，此时x边与斜边夹角6v3六、六、证明不等式：ap>Pa,<a<p).证：令(x)=1nxMf'(x)=匕1nx<0/.f(x)在(a,+，)上单减，f(a)>f(P),ln(a)>ln(P)Pln(a)>aln(P)nInap>In0anap>0a.七、七、_I(2、lim』nff—.y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限n^^解：f(0)=sin(0)=0.f，(0)=(sinJ当xf0时/(x)与x是等价无穷小=cos0=1,x=0 ,lim、.nif一nf8八、八、limf^-nf82/n设f(x)在［0,1］上连续且在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.证明：(1)至少有一点WC(1/2,1),使得的力;(2)"llR，存在hi(0,x),使得f'(h)-l［f(h)-h］=1证：〔1〕令F(x)=f(x)-x,那么f在［0,1］连续，在(0,1)可导，F〔1/2〕=f(1/2)-1/2>0F(1)=f(1)-1=0-1<0,.,.在(1/2,1)内至少有一点x,使F〔x〕=0,即f(x)=x.。证：令G(x)=e-履F(x),G化)=0,G(0)=03^e(0£)使得G4)=0.-入e-桁F(n)+e-桁F(“)=0得出F(L'F(“)即尸(n)-1=>(f(n)-n)于是f<(n)-x(f(n)-n)=1一、一、选择题〔每题4分，共16分〕1．_xlim(1+x)-x+limxsinxf0 xf82．3．A、e；B、C、ff(x)=xInx.xs设 在0处可导A、B、e；f'(x)=2C、〕。D、e-1+1f(x)=那么0D、e2〕。假设sin2x是f(x)的一个原函数那么Jxf(x)dx=〔〕。A、xsin2x+cos2x+C.；B、xsin2x-cos2x+C.；DD、1xsin2x+—cos2x+C24.函数f(x)=xc、 2+axxsin2x--cos2x+C+bxc、 2xsin2x--cos2x+CA、B、CA、B、C、D、a=-3,b=0且x=1为函数f(x)的极小值点；a=0,b=-3且x=1为函数f(x)的极小值点；a=-3,b=0且x=1为函数f(x)的极大值点；a=0,b=-3且x=1为函数f(x)的极大值点。二、填空题〔每题5分，共20分〕lim1.lim1.xf0ex-e-x 2f 2 3“Jx2<1+x3dx=9(1+x3)2+C2. 9fsinxJfsinxJ2(- ―1+X23. 2a邛y=2a+p,5=ta+p、7 4+cos3x)dx=_3o4.设a，B，3J为向量，％为实数。假设P11=11三、计算以下各题〔每题9分，共45分〕limxx.求极限％-0+ 0limlim=lime^inx=e^+xlnx「In%lim——x—0+—二ex

1lim十x—0+—e#=1解.：%—。+x—>0+.函数y=y(x)由方程分―e，一孙=0确定，求血24。ex-ey-xy=ex-eyyr-y-xyf=0负牟=^>ex-eyy,f-eyy^--y~y~xyff=0又X=0,y=0,了=又X=0,y=0,了=1,得 1二dx2x=0-2.求定积分2解I ~X224.求过点I ~X224.求过点（3/，2）且与平面dxx=sint2_2COt2tdt4x+2z=］和y—3z=2平行的直线方程。fr 兀J2(esc2t-1)dt=1-—a_ 44解:5.设/(%)=<1.—sinx,解:5.设/(%)=<1.—sinx,20,0<X<7l其它①(x)=求23,1)x-3=2-1=z_2-2①（X）=0<X<7l①（X）=f(t)dt=—乙sintdt0<X<7l①（X）=f(t)dt=—乙sintdt=;(1一cosx)X>71①（X）=f(t)dt=—71sintdt+ox0dt=171四、。分〕长为 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？(l-4x)2J~^=(1x2(l-4x)2J~^=(1x2axz'dx—J4adidx+卜

a+1(1—x2—ax2)dx—a+1ax2dx+解：由0 0 、a+1(1-x2)dxa-3，2.设函数f(x)在［0,1］上连续，且0<f(x)<1。判断方程2x'0个实根？并证明你的结论。f(t)dt-1(01)在(0,1)内有几F(x)-2x-Jxf(t)dt-1： 0，F(0)--1,F(1)-1-J1f(x)dx>00 ，所F(x) 在[0,1]上连续，以F(x)在(0,1)内有一个零点。又S(x)=x2+ 解：设正方形的边长为x，那么正方形的面积与圆的面积之和为 4兀-ll l--4x l 4l 4lS(x)-2x-2 二0x= ,l 兀, 4+兀。所以两段铁丝分别为4+兀 4+兀时，正方形的面积与圆的面积之和最小。五、解答以下各题〔每题4分，共12分〕i,设曲线y=1-x2(0«x«1),x轴以及y轴所围区域被曲线y=ax2(a>0)分成面积相等的两局部，求a。22x-J零点，即F'(x)-2f)>上可导。由 0 ，存在-1-1>0,F(x)在［0，1］上是单调递增的，所以F(x)在(0，上可导。由 0 ，存在f(t)dt-1(01)在(0,)