抽样定理及FIR.

1、模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A) (D/A) 采样采样利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列 离散值，使之成为采样信号离散值，使之成为采样信号x(nTsx(nTs) )的过的过程程 编码编码将经过量化的值变为二进制数字的过程。将经过量化的值变为二进制数字的过程。 量化量化把采样信号经过舍入变为只有有限个有把采样信号经过舍入变为只有有限个有 效数字的数，这一过程称为量化效数字的数，这一过程称为量化1 1、A/DA/D转换转换 第六章、数字信号处理技术第六章、数字信号处理技术4 4位位A/D: XXXXA/D: XXXXX(1) 0101X(2)

2、 0011X(3) 00002) A/D2) A/D转换器的技术指标转换器的技术指标 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A) (3) (3) 模拟信号的输入范围模拟信号的输入范围; ; 如，如，5V5V， +/-5V+/-5V，10V10V，+/-10V+/-10V等。等。 (1) (1) 分辨率分辨率; ; 用输出二进制数码的位数表示。位数越多，用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有量化误差越小，分辨力越高。常用有8 8位、位、1010位、位、1212位、位、1616位等。位等。 (2) (2) 转换速度转换速度; ; 指完成一次转换所用的时间，如指完成一次

3、转换所用的时间，如:1ms(1KHz):1ms(1KHz)； 10us(100kHz) 10us(100kHz) 2 2、D/AD/A转换过程和原理转换过程和原理 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A) D/A D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。信号的装置。 D/AD/A转换器的技术指标转换器的技术指标 分辨率分辨率; ; 转换速度转换速度; ; 模拟信号的输出范围模拟信号的输出范围; ;A/DA/D、D/AD/A转换过程中的量化误差实验：转换过程中的量化误差实验： 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A) 抽样定理抽样定理 (Sampli

4、ng theorem)一、抽样一、抽样(采样、采样、sampling)：利用开关信号利用开关信号s(t)从连续信号从连续信号f(t)中中“抽取抽取”一系列离散样本值的过程。一系列离散样本值的过程。引例：信号数字处理引例：信号数字处理开关开关信号信号需解决的问题需解决的问题：)()()(tstftfs)( jFsF(j )S(j )的的关关系系？与与)()(jFjFs的的全全部部信信息息？能能否否包包含含)()(tftfs如何进行抽样？如何进行抽样？)(*)(21jSjF jSjFjFs*21)( )(1 nsSnjFT（ s 2 m）sT1有限带宽信号有限带宽信号 1) 当当 s 2 m时，时

5、，Fs(j )是是F(j )在在不同不同 s倍数上的重复与再现，幅值为原值倍数上的重复与再现，幅值为原值的的1/Ts 。ssT2ms2) 1ms2)2ms2) 32) 当当 s2 m）即：从即：从 fs(t)中恢复中恢复f(t)要求理想低通滤波器要求理想低通滤波器：sTA 2scm 四、信号恢复四、信号恢复 (Signal Reconstruction)信号信号f(t)的恢复的恢复实现实现：理想低通滤波器：理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filters)当当 s 2 m时，时，Fs(j )含有含有F(j )完整频谱完整频谱（ s 2 m）理想冲激序列抽样理想冲激序列抽样： 一个最

6、高频率为一个最高频率为 m的的有限带宽信号有限带宽信号f(t)，可用均匀抽样间隔，可用均匀抽样间隔 的抽样值的抽样值fs(t)唯一确定。唯一确定。 若从若从fs(t) 恢复恢复f(t),可用一个理想低通滤波器实现，滤波器增益为可用一个理想低通滤波器实现，滤波器增益为Ts，截，截止频率止频率: 说明：说明： 1) f(t)为有限带宽信号，即：为有限带宽信号，即： | | m时时,F(j )=0 2) 抽样间隔抽样间隔msfT21 msff2 或或: 抽样频率抽样频率ms2msff2minms2min 奈奎斯特抽样间隔奈奎斯特抽样间隔(Nyquist Sampling Interval)msfT2

7、1max 奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样频率(Nyquist Sampling Frequency2scm五、时域抽样定理五、时域抽样定理msfT21 （t-domain Sampling theorem)1、实现连续信号离散化，为、实现连续信号离散化，为信号的数字处理奠定基础；信号的数字处理奠定基础；2、实现信号的时分复用，为、实现信号的时分复用，为多路信号传输提供理论基础。多路信号传输提供理论基础。六、抽样定理意义六、抽样定理意义抽样定理的意义抽样定理的意义抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值，在数

8、学上就是插值公式样点函数值，在数学上就是插值公式抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息息因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分 例：例：图图(a)所示系统，其所示系统，其H1 (j )和和f1(t) 如图如图(b) 、(c) 所示。所示。解：

9、解：)()() 11tSatfmm)()(21mGjFmsfT21)2mmsTjSjFjFs*21)( jHjFjF11)() 3 )(1nsSnjFT4）若若y(t)=f(t)，H2 (j )应如图所示。应如图所示。 1) 求求F1(j )的频谱图；的频谱图； 3）求）求 s=2 m时时Fs(j )频谱图；频谱图； 2）求抽样间隔）求抽样间隔Ts的最大值；的最大值； 4）若）若y(t)=f(t)，求，求H2 (j )。 一个持续时间有限信号一个持续时间有限信号f(t)的频谱的频谱F (j ) ，可用均匀的抽样值，可用均匀的抽样值F (jn s)唯一确定，其抽样间隔唯一确定，其抽样间隔 这样可

10、得到这样可得到f(t)在时域中重复形成周期信号在时域中重复形成周期信号fs(t) ，不会产生混叠。，不会产生混叠。 若从若从fs(t) 恢复恢复f(t), 可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲就可无失真地恢复原信号。就可无失真地恢复原信号。 说明：说明： 1) f(t)为为持续时间有限信号持续时间有限信号，即：，即： | t | tm时时, f(t)=0 2) 抽样间隔抽样间隔mstf21七、频域抽样定理七、频域抽样定理mstmst（ -domain Sampling theorem) 1、信号通过系统的响应求解信号通过系统的响应求解: 周期信号

11、、非周期信号通过线性系周期信号、非周期信号通过线性系统的响应。统的响应。 2、频域系统函数频域系统函数H(j ):定义、物理意义、求解方法、系统频率特定义、物理意义、求解方法、系统频率特性；性； 3、理想低通滤波器及其传输特性：理想低通滤波器及其传输特性：cctj0e)j (Ho 4、信号传输不失真条件：信号传输不失真条件： 时域条件：时域条件：h(t)=K (t-to) 频域条件频域条件: H(j )=Ke-j to 5、抽样信号与抽样定理抽样信号与抽样定理。时域与频域分析对比时域与频域分析对比t 域域 域域分析变量分析变量基本信号基本信号系统特性系统特性激励分解激励分解响应分解响应分解时间

12、变量时间变量频率变量频率变量 (t)e-j th(t)H(j )dtftf)()()(dejFtftj)(21)(dthfty)()()(dejYtytj)(21)(dtetfjFtj)()()()()(jHjFjY系统分析系统分析突出信号与系统的时间特性突出信号与系统的时间特性突出信号与系统的频率特性突出信号与系统的频率特性信号的时域与频域的对应关系：信号的时域与频域的对应关系：连续连续非周期非周期离散离散周期周期时域连续非周期信号时域连续非周期信号频域非周期连续频域非周期连续时域连续周期信号时域连续周期信号频域非周期离散频域非周期离散时域离散非周期信号时域离散非周期信号频域周期连续频域周期

13、连续时域离散周期信号时域离散周期信号频域周期离散频域周期离散采样定理采样定理 采样是将采样脉冲序列采样是将采样脉冲序列p(t)p(t)与信号与信号x(t)x(t)相相乘，取离散点乘，取离散点x(ntx(nt) )的值的过程。的值的过程。X(0), X(1), X(2), , X(n) 每周期应该有多少采样点每周期应该有多少采样点 ？最少最少2 2点点: :实验：实验： 频域解释频域解释 采样定理采样定理 0t0f0t0ft00f采样定理采样定理 为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高号信息，信号采样频率必须至少为原

14、信号中最高频率成分的频率成分的2 2倍。这是采样的基本法则，称为采倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。样定理。Fs 2 Fmax 需注意，满足采样定理，只保证不发生频率需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号原信号x(t)x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的中最高频率成分的3 3到到5 5倍。倍。频混现象实验：频混现象实验： 频混计算：频混计算： FsFsFsFs频混频混正常正常Fs/2工程处理：工程处理：混迭频率混迭频率=Fs-=Fs-信号频率信号频率

15、 函数的抽样 最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘 如果被抽样的函数为 ，抽样函数可表示为 梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平面 上在 ， 两方向上间距为 和 的 函数 与该函数的乘积任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数的“大小”要被该函数在 函数位置上的函数值所调制。换句话说，每个 函数下的体积正比于该点函数的数值 yxg,yxgs,yxgYycombXxcombyxgs,yx,xyXY抽样函数抽样函数抽样函数的频谱抽样函数的频谱 利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频谱利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频

16、谱 nmyxnmyxyxYmfXnfGYmfXnfYfcombXfXYcombYycombXxcomb,f ,fG,f ,fGf ,fGf ,fGyxyxyxyxsF抽样函数的原函数的复原抽样函数的原函数的复原图图奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyquist）抽样间隔）抽样间隔 假如函数假如函数 是限带函数，即它的是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零有限区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在若包围该区域的最小矩形在 和和 方向上的宽度分别为方向上的宽度分别为 和和 欲使欲使图图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使中周期性复现的函数频谱不会相互

17、混叠，必须使 或者说抽样间隔必须满足或者说抽样间隔必须满足 式式中中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特（NyquistNyquist）抽样间隔）抽样间隔 ),(yxgxfyfxByBx2BX1y2BY1x2BXy2BY原函数频谱的复原原函数频谱的复原 要要原函数的复原首先要恢复其频谱原函数的复原首先要恢复其频谱 在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 和和 , ,位位于原点的矩形于原点的矩形函数去乘函数去乘抽样函数的频谱抽样函数的频谱就可得到就可得到原来函数的频谱。原来函数的频谱。在频率域进

18、行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波滤波” ” 用频域中宽度用频域中宽度 和和 的位于原点的矩形的位于原点的矩形函数为函数为 滤波过程可写作滤波过程可写作 xByBxByByyxxBfrectBfrect22f ,fHyxyxyxsf ,fG22f ,fGyyxxBfrectBfrect原函数的复原原函数的复原(1)(1)做反变换就可直接得到原函数做反变换就可直接得到原函数根据卷积定理，在空间域得到根据卷积定理，在空间域得到对上式左边两个因子分别进行化简有对上式左边两个因子分别进行化简有 结果得到无数结果得到无数 函数与函数与SINC

19、SINC函数的卷积和函数的卷积和yxgyxhyxgs, mYynXxmYnXgXYyxgYycombXxcombyxgnms ,yBcxBcBBBfrectBfrectyxhyxyxyyxx2sin2sin422, F原函数的复原原函数的复原(2)(2)最后卷积的结果最后卷积的结果,愿函数为愿函数为若取最大允许的抽样间隔，即若取最大允许的抽样间隔，即 ，并且，并且 ，则，则可见用可见用SINCSINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数函数做为插值函数可以准确恢复原函数( (当然要满足必要的条当然要满足必要的条件件) ) mYyBc nX-xBcmYnXgXYBByxgyxnmyx sinsin

20、,x2BXy2BY yyxnmyxBmyBBBmBngyx22sinc 2Bn-x2sinc2,2,gx例例1 1,2KHz,4 . 3msmfff ,21Hz,6800maxminmssfTf sTfss 12580001 Hz,8000 则则若若取取例如音频信号：例如音频信号：03.4KHz，在高数中学到的在高数中学到的sinc函数有两种定义函数有两种定义: sinc函数定义函数定义为为:sinc(x)=sin(x)/x和和sinc(x)=sin(x)/x,而而matlab中默认的是中默认的是第一种第一种,所以画图时如果没有意识到这一所以画图时如果没有意识到这一点点,就会造成很大的差异就会

21、造成很大的差异,甚至是一些错甚至是一些错误误.理想的低通濾波器在時域的型式為一理想的低通濾波器在時域的型式為一sinc 函數函數，然而，然而sinc 是一無限的是一無限的函數函數 4、由抽样抽样内插公式内插公式所决定的信号内插恢复过程信号内插恢复过程 maamTtTcmTxtxsinmTt )()(mTxtxaa)(txaT2T3T04Tt什么是什么是firfir数字滤波器数字滤波器1.1 1.1 什么是什么是FIRFIR滤波器滤波器? ?FIR FIR 滤波器是在数字信号处理滤波器是在数字信号处理(DSP)(DSP)中经常使用的两种中经常使用的两种基本的滤波器之一基本的滤波器之一, ,另一个

22、为另一个为IIRIIR滤波器滤波器. .1.2 FIR1.2 FIR代表什么代表什么? ?FIRFIR是有限冲激响应是有限冲激响应(Finite Impulse Response)(Finite Impulse Response)的简称的简称. .1.3 FIR(1.3 FIR(有限冲激响应有限冲激响应) )中的有限该如何理解中的有限该如何理解? ?冲激响应是有限的意味着在滤波器中没有发反馈冲激响应是有限的意味着在滤波器中没有发反馈. . 1.5 FIR 1.5 FIR 滤波器外有什么其他选择滤波器外有什么其他选择? ?DSPDSP滤波器还有一类滤波器还有一类: IIR(: IIR(无限冲激响

23、应无限冲激响应,Infinite ,Infinite Impulse Response). IIRImpulse Response). IIR滤波器使用反馈滤波器使用反馈, ,因此当信号因此当信号输入后输入后, ,输出是根据算法循环的输出是根据算法循环的. .1.6 FIR1.6 FIR滤波器与滤波器与IIRIIR滤波器比较滤波器比较? ? 每一种都有优缺点每一种都有优缺点. .但总得来说但总得来说, FIR, FIR滤波器的优点远大滤波器的优点远大于缺点于缺点, ,因此在实际运用中因此在实际运用中,FIR,FIR滤波器比滤波器比IIRIIR滤波器使用的滤波器使用的比较多比较多. .1.6.1

24、 1.6.1 相对于相对于IIRIIR滤波器滤波器, FIR, FIR滤波器有什么优点滤波器有什么优点? ?相较于相较于IIRIIR滤波器滤波器, FIR, FIR滤波器有以下的优点滤波器有以下的优点: :* * 可以很容易地设计线性相位的滤波器可以很容易地设计线性相位的滤波器. . 线性相位滤波器线性相位滤波器延时输入信号延时输入信号, ,却并不扭曲其相位却并不扭曲其相位. .* * 实现简单实现简单. . 在大多数在大多数DSPDSP处理器处理器, , 只需要对一个指令积只需要对一个指令积习循环就可以完成习循环就可以完成FIRFIR计算计算. .* * 适合于多采样率转换适合于多采样率转换

25、, ,它包括抽取它包括抽取( (降低采样率降低采样率), ), 插值插值( (增加采样率增加采样率) )操作操作. . 无论是抽取或者插值无论是抽取或者插值, , 运用运用FIRFIR滤波滤波器可以省去一些计算器可以省去一些计算, , 提高计算效率提高计算效率. . 相反相反, ,如果使用如果使用IIRIIR滤波器滤波器, ,每个输出都要逐一计算每个输出都要逐一计算, ,不能省略不能省略, ,即使输出要丢即使输出要丢弃弃. . * 具有理想的数字特性具有理想的数字特性. 在实际中，所有的在实际中，所有的DSP滤波滤波器必须用有限精度（有限器必须用有限精度（有限bit数目）实现，而在数目）实现，

26、而在IIR滤波器中使用有限精度会产生很大的问题，由于滤波器中使用有限精度会产生很大的问题，由于采用的是反馈电路，因此采用的是反馈电路，因此IIR通常用非常少的通常用非常少的bit实实现，设计者就能解决更少的与非理想算术有关的现，设计者就能解决更少的与非理想算术有关的问题。问题。* 可以用小数实现可以用小数实现. 不像不像IIR滤波器，滤波器，FIR滤波器通滤波器通常可能用小于常可能用小于1的系数来实现。（如果需要，的系数来实现。（如果需要，FIR滤波器的总的增益可以在输出调整）。当使用定滤波器的总的增益可以在输出调整）。当使用定点点DSP的时候，这也是一个考虑因素，它能使得的时候，这也是一个考

27、虑因素，它能使得实现更加地简单。实现更加地简单。1.6.2 1.6.2 相较于相较于IIRIIR滤波器滤波器, FIR, FIR滤波器的缺点是什么滤波器的缺点是什么? ?相比较于相比较于IIRIIR滤波器滤波器, , 有时有时FIRFIR滤波器为了得到一个给滤波器为了得到一个给定的滤波响应特性定的滤波响应特性, ,需要花费更多的存储器或者计算需要花费更多的存储器或者计算. . 当然当然, ,用用FIRFIR滤波器去实现某些响应也是不实际的滤波器去实现某些响应也是不实际的. .1.7 1.7 在描述在描述FIRFIR滤波器的时候滤波器的时候, ,都要提到什么术语都要提到什么术语? ?* * 冲激

28、响应冲激响应 - FIR- FIR滤波器的冲激响应实际上是滤波器的冲激响应实际上是FIRFIR的的系数系数. .* * 抽头抽头(Tap) - FIR(Tap) - FIR的抽头是系数或者延时对的抽头是系数或者延时对. FIR. FIR抽抽头的个数头的个数( (通常用通常用N N来表示来表示) )意味着意味着:1):1)实现滤波器所需实现滤波器所需要的存储空间要的存储空间, 2) , 2) 需要计算的数目需要计算的数目, 3) , 3) 滤波器能滤滤波器能滤掉的数量掉的数量, , 实际上实际上, ,越多的抽头意味着有更多的阻带越多的抽头意味着有更多的阻带衰减衰减, , 更少的波纹更少的波纹,

29、,更窄的滤波等等更窄的滤波等等. .* 乘累加乘累加 (MAC) - 在在FIR方面考虑方面考虑,MAC是指把延时是指把延时的数据采样与相应的系数相乘，然后累加结果。的数据采样与相应的系数相乘，然后累加结果。通常，通常，FIR每一个抽头都需要一个每一个抽头都需要一个MAC。大多数。大多数DSP微处理器实现微处理器实现MAC操作都是单指令周期。操作都是单指令周期。* 跃迁带（跃迁带（Transition Band） -在通带和阻带边在通带和阻带边沿之间的频带。跃迁带越窄，需要更多的抽头去沿之间的频带。跃迁带越窄，需要更多的抽头去实现滤波器。也有说，小的跃迁带就是一个实现滤波器。也有说，小的跃迁带

30、就是一个sharp滤波器。滤波器。* 延时线延时线- 一组存储器单元，实现在一组存储器单元，实现在FIR计算中的计算中的Z-1延时。延时。* 环形缓存环形缓存 - 一个特殊的缓存，是首尾相连的。通一个特殊的缓存，是首尾相连的。通常由常由DSP微处理器实现。微处理器实现。 Part 2: PropertiesPart 2: Properties2.1 2.1 线性相位线性相位2.1.1 FIR2.1.1 FIR滤波器和线性相位之间有什么关系滤波器和线性相位之间有什么关系? ?大多数的大多数的FIRFIR滤波器是线性相位滤波器滤波器是线性相位滤波器. . 当需要设计当需要设计线性相位滤波器时线性相

31、位滤波器时, , 通常使用通常使用FIRFIR滤波器滤波器. .2.1.2 2.1.2 什么是线性相位滤波器什么是线性相位滤波器? ?线性相位是指滤波器的相位响应是频率的线性函数线性相位是指滤波器的相位响应是频率的线性函数（在（在+/-180+/-180度）。因此滤波器的延时后，所有的频率度）。因此滤波器的延时后，所有的频率相位相同。因而滤波器不会产生相位和延迟扭曲。在相位相同。因而滤波器不会产生相位和延迟扭曲。在某些领域，比如数字解调器，没有相位或者延迟扭曲某些领域，比如数字解调器，没有相位或者延迟扭曲是是FIRFIR滤波器相对于其他滤波器相对于其他IIRIIR和模拟滤波器的一个关键和模拟滤

32、波器的一个关键优点优点2.1.3 线性滤波器的条件是什么线性滤波器的条件是什么?FIR滤波器经常被设计成为线性相位的，当滤波器经常被设计成为线性相位的，当然不是必须要这么做。如果滤波器的系数然不是必须要这么做。如果滤波器的系数是关于中心系数对称的，也就是说第一个是关于中心系数对称的，也就是说第一个系数和最后一个系数相同，第二个系数和系数和最后一个系数相同，第二个系数和倒数第二个相同，那么倒数第二个相同，那么FIR滤波器就是线性滤波器就是线性的。有奇数个系数的的。有奇数个系数的FIR滤波器，中心单独滤波器，中心单独的系数没有对应的。的系数没有对应的。2.1.4 2.1.4 什么是线性相位什么是线

33、性相位FIRFIR滤波器的延时滤波器的延时? ?非常简单的公式非常简单的公式: : 给定给定FIRFIR滤波器有滤波器有N N个抽头个抽头, ,那么那么延时是延时是(N - 1) / (2 (N - 1) / (2 * * Fs), Fs), 这里这里FsFs是采样频率是采样频率. . 比如比如, 21, 21抽头的线性相位滤波器运行在抽头的线性相位滤波器运行在1kHz, 1kHz, 那么那么延时就是延时就是(21 - 1) / (2 (21 - 1) / (2 * * 1 kHz)=10 1 kHz)=10 微秒微秒. .2.1.4 2.1.4 除了线性相位除了线性相位, ,还可以选择什么还

34、可以选择什么? ?当然是非线性的了。实际上，最流行的选择是最小当然是非线性的了。实际上，最流行的选择是最小相位滤波器。最小相位滤波器，也叫最小延时滤波相位滤波器。最小相位滤波器，也叫最小延时滤波器，比线性相位滤波器具有更少的延时，当两者的器，比线性相位滤波器具有更少的延时，当两者的幅度响应相同时以非线性相位特性。低通滤波器在幅度响应相同时以非线性相位特性。低通滤波器在它的冲击响应中心有最大的系数。而最小相位滤波它的冲击响应中心有最大的系数。而最小相位滤波器的最大系数在开始部分。器的最大系数在开始部分。2.2 2.2 频率响应频率响应2.2.1 2.2.1 什么是什么是FIRFIR滤波器的滤波器

35、的Z Z变换变换r?r?对于对于N N抽头的滤波器抽头的滤波器, , 系数为系数为h(kh(k), ), 那么输出由那么输出由: : y(n y(n)=h(0)x(n) + h(1)x(n-1) + h(2)x(n-2) )=h(0)x(n) + h(1)x(n-1) + h(2)x(n-2) + . h(N-1)x(n-N-1),+ . h(N-1)x(n-N-1),滤波器的滤波器的z z变换就是变换就是: : H(z H(z)=h(0)z-0 + h(1)z-1 + h(2)z-2 + . )=h(0)z-0 + h(1)z-1 + h(2)z-2 + . h(N-1)z-(N-1) ,

36、orh(N-1)z-(N-1) , or 2.2.2 FIR2.2.2 FIR滤波器的频率响应公式是什么滤波器的频率响应公式是什么? ?H(zH(z) )中的变量中的变量z z为连续的复数变量，可以描述为为连续的复数变量，可以描述为 z=rz=rejwejw，这里，这里r r是幅度，是幅度，w w是是z z的角度。如果令的角度。如果令r=1r=1，H(zH(z) )就变成了滤波器频率响应就变成了滤波器频率响应H(jwH(jw) )。这也就意味着。这也就意味着替代替代z z为为ejwejw，得到了滤波器频率响应，得到了滤波器频率响应H(wH(w) )。 H(jwH(jw)=h(0)e-j0w +

37、 h(1)e-j1w + h(2)e-j2w )=h(0)e-j0w + h(1)e-j1w + h(2)e-j2w + . h(N-1)e-j(N-1)w , or+ . h(N-1)e-j(N-1)w , or使用欧拉公式使用欧拉公式, e-ja=cos(a) - jsin(a, e-ja=cos(a) - jsin(a), ), 我们可以我们可以把把H(jwH(jw) )写成矩形表示写成矩形表示: : H(jw H(jw)=h(0)cos(0w) - jsin(0w) + )=h(0)cos(0w) - jsin(0w) + h(1)cos(1w) - jsin(1w) + . h(N-

38、1)cos(N-h(1)cos(1w) - jsin(1w) + . h(N-1)cos(N-1)w) - jsin(N-1)w) , or 1)w) - jsin(N-1)w) , or 2.2.3 2.2.3 能用离散傅立叶变换能用离散傅立叶变换(DFT)(DFT)来计算来计算FIRFIR的频率响的频率响应么应么? ?可以。对于可以。对于N N抽头的抽头的FIRFIR，可以得到，可以得到N N evenly-spaced evenly-spaced points of the frequency response by doing a points of the frequency res

39、ponse by doing a DFT on the filter coefficients.DFT on the filter coefficients.但是，为了得到但是，为了得到任意频率的频率响应，需要使用上边的公式。任意频率的频率响应，需要使用上边的公式。2.2.4 FIR2.2.4 FIR滤波器的滤波器的DCDC增益指的是什么增益指的是什么? ?DC(0 Hz)DC(0 Hz)输入信号包含每个采样都为输入信号包含每个采样都为1.01.0。通过延时。通过延时线后，输出是所有系数的和。因而，在线后，输出是所有系数的和。因而，在DCDC处滤波器的处滤波器的增益就是所有系数之和。增益就是所

40、有系数之和。可以通过上边的公式进行验证。问我们设可以通过上边的公式进行验证。问我们设w w为为0 0， coscos项就一直为项就一直为1 1，而，而sinsin项则一直为项则一直为0 0。因此频率响应就。因此频率响应就变成了：变成了：2.2.5 2.2.5 如何调整如何调整FIRFIR滤波器的增益滤波器的增益? ?简单地在系数上乘上因子简单地在系数上乘上因子. .2.3 2.3 数字性质数字性质2.3.1 FIR2.3.1 FIR滤波器是固有稳定的滤波器是固有稳定的? ?是的，因为没有反馈，任何有限的输入产生有限是的，因为没有反馈，任何有限的输入产生有限的输出。的输出。2.3.2 2.3.2 什么使什么使FIRFIR滤波器的数字性质变好？滤波器的数字性质变好？缺少反馈是关键