有关x与ex,lnx的组合函数问题考点与题型归纳

1、有关x与ex,lnx的组合函数问题考点与题型归纳考点一x与lnx的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)=h(x)lnx(h(x)=ax2+bx+c(a,b不能同时为0)的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”.做到lnx(2)熟悉函数f(x)=-(h(x)=ax2+bx+c(a,b不能同时为0),h(x)w0)的图象特征,hx对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”.ax2典例设函数f(x)=xlnx+a-x(aR).(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；(2)若a=2,kCN,g(x)=2-2x-x2,且当x>2时不等式k(x2)+g

2、(x)vf(x)恒成立，试求k的最大值.解题观摩(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0,+°°),fz(x)=lnx+1ax1=lnxax,lnx令f(x)=0,可得a=,x人lnx令h(x)=-(x>0),则由题可知直线y=a与函数h(x)的图象有两个不同的交点，x1lnxh'(x)=2一,令h'(x)=0,得x=e,可知h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+°°)±x单调递减，h(x)max=h(e)=当x>0时，h(x)>8,当x时，h(x)>0,故实e数a的取值范围为0,1.e(2)当a=

3、2时,f(x)=xlnx-x2+2-x,k(x-2)+g(x)<f(x),即k(x-2)+2-2x-x2vxlnx-x2+2-x,整理得k(x-2)<xlnx+x,xlnx+x因为x>2,所以k<x-2xlnx+x设F(x)=(x>2),则F'(x)=x-2x42lnxx-22令m(x)=x42lnx(x>2),则m'(x)=1>0,所以m(x)在(2,+°°)上单调递增,xm(8)=4-2ln8<4-2lne2=4-4=0,m(10)=6-2ln10>62lne3=66=0,所以函数m(x)在(8,10

4、)上有唯一的零点x0,即x042lnx0=0,故当2Vxvxo时，m(x)v0,即F'(x)<0,当x>x0时，F'(x)>x04.x01+x0lnx0+x。20,所以F(x)min=F(x0)=x02x02x0x0/所以k<2,因为xoC(8,10)，所以万6(4,5),故k的最大值为4.关键点拨对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题，要求学生理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略.考点二x与ex的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)=

5、h(x)eg(x)(g(x)为一次函数，h(x)=ax2+bx+c(a,b不能同时为0)的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”.做到xe(2)熟悉函数f(x)=J；(h(x)=ax2+bx+c(a,b不能同时为0),h(x)w0)的图象特征,hx对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”.典例已知函数f(x)=a(x1),g(x)=(ax1)2aCR.(1)求证：存在唯一实数a,使得直线y=f(x)和曲线y=g(x)相切；(2)若不等式f(x)>g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围.解题观摩(1)证明：f'(x)=a,g'(x)=(a

6、x+a1)e1ex+x-2令m(x)=x-,则m'(x)=x,ee由(1)可得m(x)在(00,x0)上单调递减，在(x0,+8)上单调递增，且x0(0,1),故当xW0时，m(x)>m(0)=1,当x>1时，m(x)>m(1)=1,所以当xCZ时，m(x)>1恒成立.当aw。时，am(x)<1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；一1.1当0vav1时，m(x)一，因为一>1,m(0)=m(1)=1,所以两个整数解分别为0,1,即aa.设直线y=f(x)和曲线y=g(x)的切点的坐标为(x0,y0),则y0=a(x01)=(ax01)ex0,得a(x0

7、ex。一x0+1)=ex0,又因为直线y=f(x)和曲线y=g(x)相切，所以a=g'(x0)=(axo+a1)ex。，整理得a(xoex0+ex01)=ex0,结合得xoexox0+1=x0ex0+exo1,即exo+xo2=0,令h(x)=ex+x2,则h'(x)=ex+1>0,所以h(x)在R上单调递增.又因为h(0)=-1<0,h(1)=e-1>0,所以存在唯一实数x0,使得ex0+x0-2=0,且xoC(0,1),所以存在唯一实数a,使两式成立，故存在唯一实数a,使得直线y=f(x)与曲线y=g(x)相切.(2)令f(x)>g(x),即a(x-

8、1)>(ax-1)ex,x1所以axexax+a<ex,所以ax<1,ee2口厂-,即aC2e2-1e2+OO.2e21'1m2>-a'解得a>-1m1'二，a，1当a>1时，m(x)<a1因为1,m(x)在xCZ时大于或等于1,a所以m(x)除整数解，舍去.ae2一综上所述，a的取值范围为2/_1'关键点拨在求解有关x与ex的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨

9、论新函数的单调性求最值.考点三x与ex,lnx的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)=h(x)lnx土x(h(x)=ax2+bx+c(a,b不能同时为0)的图形特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象“有形可寻”.(2)熟悉函数f(x)=ex±lnx(其中h(x)=ax2+bx+c(a,b不同日寸为0)的图形特征，做到对图(5)(6)所示的两个特殊函数的图象“有形可寻”.方法一：分离参数，设而不求m,、ex典例已知函数f(x)=lnx+g(x)=-(e=2.71828为自然对数的底数)，是否存1在整数m,使得对任息的xC2，+°°，都有y=f(x)

10、的图象在y=g(x)的图象下方？右存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由.解题观摩假设存在整数m满足题意，则不等式lnx+mve，对任意的xC1+8xx2恒成立，1即mvexlnx对任息的xC,+00恒成立.令v(x)=exxlnx,贝Uv'(x)=exInx1,1令(f)(x)=exlnx-1,则()(x)=ex-,x111易知力(x)在2，+8上单调递增，因为2=e1111所以m<e2/鼻=e2+.ln2-1.99529,故存在整数m满足题意，且m的最大值为1.关键点拨若分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时可以采用设而不求的方法.在2<0,8(1

11、)=e1>0且8(x)，1.的图象在11上连续，所以存在唯一的xoC2,1,使得4'(xo)=0,即ex0=0,则xo=lnxo.2x0一1当xC2，x0时，&x)单倜递减；当xC(x0,+8)时，©x)单倜递增.则(f)(x)在x=x。处取得最小值，且最小值为(j)(x0)=ex°lnx。1=,+x。1>2x。,x0,x0-1=1>0,，r_1，所以v'(x)>0,即v(x)在2,十°°上单调递增，1本题中，通过虚设夺点X0得到x0=lnX0,将ex0lnX0-1转化为普通代数式Hr1X0然后使用基本不等

12、式求出最值，同时消掉X0,即借助力(X0)=0作整体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的.方法二：分离lnx与eX典例,lnx+13十”设函数f(x)=一丁,求证：当Xx>1时，不等式fX2ex17>：e+1x+1xe+1fx2ex11x+1lnx+12ex1解题观摩将不等式>变形为:z;,分别构2ex1和函数h(x)="xeX+1e+1x+1xeX+1e+1xxeX+1x+1lnx+1造函数g(x)="xlnx对于g'(x)=X1X一1,令(f)(x)=x-lnX,则J(x)=1-=-7"XX因为x>1,所以(j)

13、9;(x)>0,所以(j)(x)在(1,+8)上是增函数，所以&X)>©1)=1>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(1,+8)上是增函数，所以当x>1时，g(x)>g(1)=2,故旦上e+12>.e+12ex11ex对于h'(x)=X厂，因为x>1,所以1exv0,所以h'(x)<0,所以h(x)在(1,xe+1十°°)上是减函数，所以当x>1时，h(x)vh(1)=-2.e+1一，,gxfx2ex1综上所述，当x>1时，±>h(x),即一关键点

14、拨若不分离ex与lnx,则难以求导，因此，对于形式复杂的函数，往往需要合理拆分与变形.高考为体现选拔功能，在解答题中不会单一考查某一初等函数，而是将不同增长速度的函数综合在一起考查，这就需要我们把已经糅合在一起的不同增长速度的函数进行分离，转化为我们熟悉的容易用导数工具求解的函数模型.考点四借助eX>x+1和lnxWx1进行放缩典例已知函数f(x)=mx2+nx-xlnx(m>0),且f(x)朋0.求m的最小值；(2)当n取得最小值时，若方程e1+(12a)xaf(x)=0无实根，求实数a的取值范围.解题观摩(1)令g(x)=，-=mx+nlnx,则f(x)>0?g(x)&g

15、t;0(x>0),又因为g'(x)=x一；一,由g'(x)>0,得x>±由g'(x)<0,得0vxv所以g(x)在0,三上单调递减，xIIIIIIIII111_1n11n1在m，+8上单倜递增.此时g(x)min=gI=1+n-lnm>0?m+m-mlnm>0,即m>mlnmm令h(t)=tlnt-t(t>0),则h'(t)=lnt,由h'(t)>0,彳#t>1;由h'(t)<0,得0vtv1,所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故h(t)min

16、=h(1)=1,则I>1,n即mmin=1.n1(2)由(1)知，当m取得最小值一1时，t=m=1,m=1,n=-1.ex1+x则exxx3x+2由x1>lnx,自变量取气可得e&-1>&(x>0),从而ex>33,则可得ex1>一21+(12a)xaf(x)=0?a=,xx+1lnxex1+x记H(x)=(x>0),xx+1lnxx1xlnxex1x则H'(x)=22，由(1)知x-1-lnx>0?lnx<x-1,即ex1>x,x2x+1lnx2则(xlnx)ex1-x>ex1-x>0(当且仅当x=1时取等号)，所以当xC(0,1)时，H'(x)<0,所以H(x)在(0,1)上为减函数；当xC(1,+8)时，H'(x)>0,所以H(x)在(1,+oo)上为增函数.所以x=1时，H(x)取得最小值，为H(1)=1.