看过
导数中涉及
“ex
，
lnx”
的几种模型
作者：黄旭东
来源：《高中生学习
·
高二版》
2017
年第
04
期
在历年的导数考题中，常涉及
[ex
，
lnx]
等指、对数形式
.
在求导运算过程中，出现
[ex]
与含
[x]
多项式或
[lnx]
与含
[x]
多项式混杂情形，导致后续讨论的复杂化
.
笔者经仔细研究近几年全国
卷试题，发现此类问题可通过化归变成几种模型，再求解
.
现整理如下，供参考
.
[g
（
x
）
+h
（
x
）
ex
或
g
（
x
）
+h
（
x
）
e-x]
化归成
[f
（
x
）
ex
或
f
（
x
）
e-x]
例
1
已知函数
[f
（
x
）
=
（
x-2
）
ex+a
（
x-1
）
2]
有两个零点，求
a
的取值范围
.
解析
由函数有两零点，且显然
[x=1]
不为零点得，即
[f
（
x
）
=
（
x-2
）
ex+a
（
x-1
）
2=0]
，则
有
[
（
x-2
）
ex
（
x-1
）
2=-a].
记
[]
，
则
[g
（
x
）
=
（
x-1
）
3ex-2
（
x-1
）（
x-2
）
ex
（
x-1
）
4=
（
x-2
）
2+1ex
（
x-1
）
3].
则
[x
∈
1
，
+∞
，
g
（
x
）
>0
，
g
（
x
）
]
为增函数；
[x
∈
-
∞
，
1
，
g
（
x
）
且
[x→1
，
g
（
x
）
→
-
∞
；
x→
-
∞
，
g
（
x
）
→0].
由
[x
又直线
[y=-a]
与函数
[y=g
（
x
）
]
有两交点，
故
[-a0.]
点评
此题的官方标准答案是直接求导进行讨论，讨论过程相当复杂；而本题通过转换函
数的形式，化归成
[f
（
x
）
ex]
型的函数，则变得相当简洁
.
一般地，由于
[f
（
x
）
ex′=f
（
x
）
+f
（
x
）
ex]
，
[f
（
x
）
e-
x′=f
（
x
）
-f
（
x
）
e-x]
，其中
[f
（
x
）
]
为多项式函数，其导数脱离了多项式与
[ex
，
e-x]
的纠缠，大大简化了计算，涉及此类问题的恒成立、存在性问题与零点问题，转化成
此种形式，不失为一种有效方法
.
[h
（
x
）
+g
（
x
）
lnf
（
x
）
]
化归成
[lnf
（
x
）
+k
（
x
）
]