欧拉定理是用来阐述素数模下,指数同余的性质。 欧拉定理:对于正整数N,代表小于等于N的与N互质的数的个数,记作φ(N) 例如φ(8)=4,因为与8互质且小于等于8的正整数有4个,它们是:1,3,5,7 欧拉定理还有几个引理,具体如下: ①:如果n为某一个素数p,则φ(p)=p-1; ①很好证明:因为素数p的质因数只有1和它本身,p和p不为互质,所以φ(p)=p-1; ②:如果n为某一个素数p的幂次,那么φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1); ②因为比p^a小的数有p^a-1个,那么有p^(a-1)-1个数能被p所整除(因为把1~p^a-1的p的倍数都筛去了) 所以φ(p)=p^a-1-(p^(a-1)-1)=(p-1)*p^(a-1) ③:如果n为任意两个数a和b的积,那么φ(a*b)=φ(a)*φ(b) ③因为比a*b小的数有a*b-1个,条件是a与b互质 那么可以知道,只有那些既满足a与其互质且既满足b与其互质的数满足条件。 根据乘法原理,这样的数可以互相组合,那么就有φ(a)*φ(b)个 所以可以得知φ(a*b)=φ(a)*φ(b) (注意条件必须满足a和b互质) ④:设n=(p1^a1)*(p2^a2)*……*(pk^ak) (为N的分解式) 那么φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pk) ④因为各个分解完的p1、p2、……pk均为素数,所以它们均为互质的 每次再刨去它们本身,乘起来 剩下的运用容斥原理,再根据引理②和引理③就可以得出 欧拉定理:a^(φ(m))同余1(mod m) (a与m互质) 欧拉函数的线性筛法--- 大家都知道素数的线性筛法吧,欧拉函数也有线性筛法,可以在线性时间内求出1~N的所有φ 有以下三条性质: ①:φ(p)=p-1 ②:φ(p*i)=p*φ(i) (当p%i==0时) ③:φ(p*i)=(p-1)*φ(i) (当p%i!=0时) 那么筛法基本与素数筛相同。 #includeiostream #includecstring #includecstdio using namespace std; int prime[100001],mark[1000001];//prime是素数数组,mark为标记不是素数的数组 int tot,phi[100001];//phi为φ(),tot为1~i现求出的素数个数 void getphi(int N){ phi[1]=1;//φ(1)=1 for(int i=2;i=N;i++){//从2枚举到N if(!mark[i]){//如果是素数 prime[++tot]=i;//那么进素数数组,指针加1 phi[i]=i-1;//根据性质1所得 } for(int j=1;j=tot;j++){//从现求出素数枚举 if(i*prime[j]N) break;//如果超出了所求范围就没有意义了 mark[i*prime[j]]=1;//标记i*prime[j]不是素数 if(i%prime[j]==0){//应用性质2 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//应用性质3 } } } int N; int main(){ cinN; getphi(N); for(int i=1;i=N;i++){ couti:phi ( phi[i] )endl;//输出phi(i) } } 前言对于模意义下的指数运算,欧拉定理为我们提供了一个很好的等式利用此等式我们可以很好的解决对于特别大情况如。若前提的互素条件不一定成立时,则这个等式不能达到需求,而扩展欧拉定理通过对时两者素因子的分析... 摘要本文主要介绍了数论中的欧拉定理,进而介绍欧拉定理的拓展及应用,结合例题展示如何使用拓展欧拉定理实现降幂取模。在数论中,欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质定理。了解欧拉定理... 网上现在讲欧拉定理证明的文章好少啊,于是博主就在学习之后萌发了写一篇证明的想法,供大家参考。其实主要是自己找资料找得太辛苦,想为后来人节约一点时间罢了。欧拉函数:记为ϕ(n)\phi(n)ϕ(n)或φ... 大学四年,看课本是不可能一直看课本的了,对于学习,特别是自学,善于搜索网上的一些资源来辅助,还是非常有必要的,下面我就把这几年私藏的各种资源,网站贡献出来给你们。主要有:电子书搜索、实用工具、在线视频... 我有个学弟,在一家小型互联网公司做Java后端开发,最近他们公司新来了一个技术总监,这位技术总监对技术细节很看重,一来公司之后就推出了很多政策,比如定义了很多开发规范、日志规范、甚至是要求大家统一... 我是一名程序员,从正值青春年华的 24岁回到三线城市洛阳工作,至今已经 6年有余。一不小心又暴露了自己的实际年龄,但老读者都知道,我驻颜有术,上次去看房子,业务员肯定地说:“小哥肯定比我小,我今年... 今天下午在朋友圈看到很多人都在发github的羊毛,一时没明白是怎么回事。后来上百度搜索了一下,原来真有这回事,毕竟资源主义的羊毛不少啊,1000刀刷爆了朋友圈!不知道你们的朋友圈有没有看到类似的消息...
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欧拉定理
简介:欧拉定理(Euler Theorem),也称费马-欧拉定理或欧拉{\varphi}函数定理欧拉定理指出:如果产品市场和要素市场都是完全竞争的,而且厂商生产的规模报酬不变,那么在市场均衡的条件下,所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。
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