[转帖]泊松分布的数学期望与方差

一、Poisson分布的概念

Poisson分布更多地专用于研究单位时间、单位人群、单位空间内，某罕见事件发生次数的分布。

如某种细菌在单位容积空气或水中出现的情况，某段时间特定人群中某种恶性肿瘤患者的分布或出生缺陷的发病情况，放射性物质在单位时间内的放射次数，单位空间某种昆虫数的分布等等。

Poisson分布在 π 很小，样本含量n趋向于无穷大时，二项分布的极限形式。当试验中成功事件出现的概率很小，如π＜0.05,试验的次数n很大`时，用二项分布计算成功事件出现的次数X（X=0，1，2，…, n）的概率很困难，用Poisson分布可简化计算。Poisson分布发展成为描述小概率事件出现规律性的一种重要的离散型分布。

Poisson分布的概率函数

    X=1,2,3…（7.13）

意义：单位时间（单位人群、单位空间内，单位容积）内，某罕见事件发生次数的概率分布

式中μ=nπ 为Poisson分布的总体均数，总体中某单位中的平均阳性数，X为单位时间或单位空间内某事件的发生数（阳性数），e为自然对数的底，约等于2.71828。

    （7.14）

二、Poisson分布的性质

1．Poisson分布是一种单参数的离散型分布，其参数为μ，它表示单位时间或空间内某事件平均发生的次数，又称强度参数。

2．Poisson分布的方差σ2与均数μ相等，即σ2=μ

3．Poisson分布是非对称性的，在μ不大时呈偏态分布，随着μ的增大，迅速接近正态分布。一般来说，当μ=20时，可以认为近似正态分布，Poisson分布资料可按正态分布处理。

4．Poisson分布的累计概率常用的有左侧累计和右侧累计两种。单位时间或空间内事件发生的次数

最多为k次的概率

（X= 0,1,2,…）

最少为k次的概率

（X= 0,1,2,…）

5．Poisson分布的图形已知μ，就可按公式计算得出X= 0，1，2，…时的P（X）值，以X为横坐标，以P（X）为纵坐标作图，即可绘出Poisson分布的图形，如图7.2。

Poisson分布的形状取决于μ的大小。μ值越小，分布越偏，随着μ的增大，分布越趋于对称，当μ=20时，分布接近正态分布，当μ=50时，可以认为Poisson分布呈正态分布N（μ, μ），按正态分布处理。

由图7.2可以看到Poisson分布当总体均数值小于5时为偏峰，愈小分布愈偏，随着增大，分布趋向对称。

图7.2取不同值时的Poisson分布图

6．Poisson分布是二项分布的极限形式二项分布中，当π很小而n很大，nπ→μ时，二项分布趋于Poisson分布。

7．Poisson分布的观察结果有可加性。若从总体均数为的Poisson分布总体中随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数为X1，再独立地从总体均数为的Poisson分布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有事件的发生次数为X2，则它们的合计发生数T（）也服从Poisson分布，总体均数为。

上述性质还可以推广到多个Poisson分布的情形。例如，从同一水源独立地取水样5次，进行细菌培养，每次水样中的菌落数分别为，，均服从Poisson分布，分别记为，那么把5份水样混合，其合计菌落数也服从Poisson分布，记为。医学研究中常利用其可加性，将小的观察单位合并，来增大发生次数X，以便用后面讲到的正态近似法作统计推断。

三、Poisson分布的应用条件

Poisson分布的应用条件与二项分布相同，即要求事件的发生是相互独立的，发生的概率相等，结果是二分类的。

Poisson分布主要用于研究单位时间或单位空间内某事件的发生数，理论上单位时间或单位空间内的发生数可为无穷大。而用于研究单位人群中某疾病发生数的分布时，单位人群的人数要求大一些，比如以1000人或更多作为单位人群，某些发病率极低的疾病要求更多。