数学笔记|模形式(2):椭圆函数

数学笔记|模形式(2):椭圆函数

使用教材：

1.潘承洞，潘承彪.模形式导引；

2.F.Diamond and J.Shurman.A First Course in Modular Forms(GTM228).

椭圆函数指半纯的(在有限复平面上仅有奇点是极点)双周期函数。设两个复数 $\omega_{1},\omega_{2}$ 满足 $Im\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}>0$ ，所有以 $\omega_{1},\omega_{2}$ 为周期的椭圆函数以及全体复数组成的集合构成一个域，称为椭圆函数域(elliptic function field)，记作 $\varepsilon(\omega_1,\omega_{2})$ ， $\omega_1,\omega_2$ 称为椭圆函数域的周期。椭圆函数域 $\varepsilon(\omega_1,\omega_{2})$ 显然是 $\Bbb C$ 上的线性空间。接下来说明椭圆函数的两个性质。

性质1：设 f(z) 是椭圆函数，是给定的非零复数，那么 $f(z)+u,uf(z),\frac{1}{f(z)},f'(z)$ 都是椭圆函数且具有相同周期。

证明：对于前三个函数，显然其是椭圆函数，我们只讨论第四个函数。设 f(z),f'(z) 的基本周期对分别是 $\omega_{1},\omega_{2}$ 和 $\omega'_{1},\omega'_{2}$ ，易知存在 $\alpha\in GL_{2}^{+}(\Bbb Z)$ 使得：

$\begin{bmatrix} \omega_1\\ \omega_2 \end{bmatrix} \quad=\alpha \begin{bmatrix} \omega'_{1} \\ \omega'_{2} \end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} \omega'_{1} \\ \omega'_{2} \end{bmatrix}\quad\\$

对于任意 $z\in \Bbb C$ 有 $f'(z+\omega'_{1})-f'(z)=0$ ，所以存在常数使得对于任意 $z\in\Bbb C$ 有 $f'(z+\omega'_{1})-f'(z)=C$ 成立。所以对于任意 $k\in \Bbb Z$ 有 $f(z+k\omega_1)-f(z)=kC$ ，我们取 $k=|\alpha|$ 可以得到：

$\begin{align*} |\alpha|C &={f(z+|\alpha|\omega'_{1})-f(z)} \\ &={f(z+d\omega_1-b\omega_2)-f(z)}\\ &={0} \end{align*}\\$

所以 $C=0\Rightarrow\omega'_1$ 是 f(z) 的周期，同理 $\omega'_2$ 是 f(z) 的周期，证毕。

性质2：设两个椭圆函数 f(z),g(z) ，其周期为 $\omega_1,\omega_2,Im\frac{\omega_1}{\omega_2}>0$ ，那么的和差积商运算结果都是椭圆函数或常数。

证明：显然的是，和差积商运算都是半纯的。如果结果不是常数，那么存在周期 $\omega_{1},\omega_{2}$ 是不共线的，所以其必定是椭圆函数，证毕。

如果椭圆函数的一个基本平行四边形的四边上既没有极点也没有零点，则称其为椭圆函数的正常基本平行四边形(normal basic parallelogram)，记作 $\Pi_{s}$ 。在正常基本平行四边形内的零点和极点刻画椭圆函数在全平面上的零点和极点分布。

性质3：椭圆函数 f(z) 在其的一个正常基本平行四边形 $\Pi_{s}$ 内的全部极点的留数和为0，也就是说：在一个正常基本平行四边形内至少存在两个一级极点或一个不低于二级的极点。

证明： $\Pi_{s}$ 内全部极点的留数和为 $\frac{1}{2\pi i}\int_{L}f(z)dz$ ，其中是 $\Pi_{s}$ 的边界。按逆时针方向根据周期性得积分为0，所以一级极点的留数不为0，易推性质3，证毕。

椭圆函数的全部极点或零点的按重数计的个数称为椭圆函数的阶(rank)，记作 N(f) 。

性质4：椭圆函数 f(z) 在其的一个正常基本平行四边形 $\Pi_{s}$ 内的全部极点个数等于其的全部零点个数(均按重数计)。

证明：设 N_1,N_2 分别是椭圆函数 f(z) 在 $\Pi_s$ 中的零点个数和极点个数。根据幅角原理可以得到 $N_1-N_2=\frac{1}{2\pi i}\int_{L}\frac{f'(z)}{f(z)}dz$ ，其中是 $\Pi_s$ 的边界。根据周期性得积分为0，所以可以推出 N_1=N_2 ，证毕。

性质5：设一个阶的椭圆函数 f(z) 的基本周期对是 $\omega_1,\omega_2$ ，在其正常基本平行四边形 $\Pi_s$ 内的全部零点和全部极点分别是 a_1,a_2,…,a_N 和 b_1,b_2,…,b_N ,设复平面 $\Bbb C$ 上的一个格 $\Lambda$ 是满足 $Im\frac{\omega_1}{\omega_2}\ne0$ 的集合 $\left\{ m_1\omega_1+m_2\omega_2|m_1,m_2\in\Bbb Z \right\}$ ，则有：

$a_1+a_2+…+a_N \equiv b_1+b_2+…+b_Nmod\Lambda\\$

证明：根据留数定理，得：

$\sum_{j=1}^{N}{a_j}-\sum_{j=1}^{N}{b_j}=\frac{1}{2\pi i}\int_{L}z\frac{f'(z)}{f(z)}dz$ ，其中是 $\Pi_s$ 的边界。按逆时针方向利用周期性做积分得：

$\begin{align*} -\frac{1}{2\pi i}\int_{L} &={\frac{1}{2\pi i}\left\{ \int_{s}^{s+\omega_1}+\int_{s+\omega_1+\omega_2}^{s+\omega2}\right\}+\frac{1}{2\pi i}\left\{ \int_{s+\omega_1}^{s+\omega_1+\omega_2}+\int_{s+\omega_2} ^{s}\right\}}\\ &={\frac{1}{2\pi i}\left( \left\{ \int_{s}^{s+\omega_1}-\int_{s+\omega_2}^{s+\omega_1+\omega_2} \right\} +\left\{ \int_{s+\omega_1}^{s+\omega_1+\omega_2}-\int_{s}^{s+\omega_2}\right\}\right)}\\ &={\frac{1}{2\pi i}\omega_1\int_{s}^{s+\omega_2}\frac{f'(z)}{f(z)}dz-\frac{1}{2\pi i}\omega_2\int_{s}^{s+\omega_1}\frac{f'(z)}{f(z)}dz} \end{align*} \\$

由于椭圆函数 f(z) 在点到 $s+\omega_j,j=1,2$ 这两条直线上没有零点和极点，所以可以取定一个 logf(z) ，因此可得 $\frac{1}{2 \pi i}\int_{s}^{s+\omega_j}\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{s}^{s+\omega_j}dlogf(z)$ ，根据周期性，可以得到 $\frac{1}{2\pi i}\int_{s}^{s+\omega_j}dlogf(z)=k_j\in\Bbb Z,j=1,2$ ，证毕。

定理：设整数 $k\geq3$ ，有一格 $\Lambda$ ，那么函数 $F_k(z)=F_k(z;\Lambda)=\sum_{\omega\in \Lambda}{g(z-\omega)^{-k}}$ 是阶的椭圆函数，有且仅有的极点是格点 $\omega\in\Lambda$ ，其阶数均为。当是偶数时其是偶函数，当是奇数时其是奇函数。

证明：引入两个引理：

引理1：设 $\Lambda$ 是格， $\lambda\in\Bbb R$ ，那么级数 $G(\Lambda;\lambda)=\sum_{0\ne\omega\in\Lambda}{|\omega|^{-\lambda}}$ 当且仅当 $\lambda>2$ 时收敛。

引理1的证明：设格 $\Lambda$ 的一组基是 $\omega_1,\omega_2$ ，显然对于 $k\in\Bbb Z^{+}$ 满足 $max(|m_1|,|m_2|)\leq k$ 的所有格点 $m_1\omega_1+m_2\omega_2$ 的个数为 (2k+1)^2 ，因此满足 max(|m_1|,|m_2|)=k 的所有格点 $m_1\omega_1+m_2\omega_2$ 的个数为 (2k+1)^2-(2(k-1)+1)^2=8k 。显然满足条件的格点就是位于以 $\pm k\omega_1,\pm k\omega_2$ 这四点构成的平行四边形的四边上的格点。

设当 k=1 时平行四边形四边到原点的最小距离和最大距离分别为和。根据相似性可知对满足条件的格点有：

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} kr\leq|m_1\omega_1+m_2\omega_2|\leq kR\\ max(|m_1|,|m_2|)=k\\ \end{array} \right. \end{equation}\\$

由于 $G(\Lambda;\lambda)=\sum_{k=1}^{+\infty}{\sum_{m_1,m_2\in\Bbb Zmax(|m_1|,|m_2|)=k}}{\frac{1}{|m_1\omega_1+m_2\omega_2|^{\lambda}}}$ ，利用上述条件可以得到：

$\frac{8}{R^\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{1}{k^{\lambda-1}}}\leq G(\Lambda;\lambda)\leq \frac{8}{r^\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{1}{k^{\lambda-1}}}\\$

显然引理1成立，证毕。

引理2：设 $\Lambda$ 是格， $\lambda>2$ ， D>0 ，级数 $\sum_{D<|\omega|,\omega\in\Lambda}{|z-\omega|^{-\lambda}}$ 在 $|z|\leq D$ 上一致收敛。

引理2的证明：由于在有限区域上只有有限个格点，所以必定有 d>0 ，当 $|z|\leq D \leq |\omega|$ 时有 $|\frac{z-\omega}{\omega}|\geq\frac{d}{D+d}$ ，因此得：

$\sum_{D<|\omega|,\omega\in\Lambda}{|z-w|^{-\lambda}}\leq(\frac{D+d}{d})^\lambda \sum_{D<|\omega|,\omega\in\lambda}{|\omega|^{\lambda}}\\$

根据引理1则得证引理2，证毕。

回到定理的证明上，根据引理2，定理中的级数在任一不包含格 $\Lambda$ 的点的有限闭区域上绝对一致收敛，所以函数 F_k (z) 是半纯函数。根据引理1以及格 $\Lambda$ 是加法群，得到关于奇偶性的结论，证毕。

本文仅作为作者的个人笔记，若有读者则请谨慎阅读。

编辑于 2020-04-27 · 著作权归作者所有

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