微积分
经 @予一人 大佬提醒，瑕积分不是收敛的，那这题出的有点失败，我刚刚默认收敛了，哈哈。不过这个可以当做一个反例，思考题:如果里面的瑕积分不收敛，我最后的结果是对还是错呢，请读者给出理由。 原回答: 首先 @予一人 大佬指出了此积分第一个重要特点，有两个瑕点，如下图所示 ，所以这是个瑕积分，是要分区间计算的。 [图片] 然后不难算出： [公式]
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谢 @MCGA 邀。此处应当 @人民教育出版社 。先说结论吧：糊弄人的废纸。近日拿到了一部分书，总共有六册。刚拿到书的时候时间有限，没有仔细翻阅，但大致浏览了一下，我就开始觉得有点不对劲，一点也不像面向普通高中学生的教科书。生硬的叙述、干瘪的内容，有点排版瑕疵我也忍了，但是作为数学书来说，这里面出现的各种漏洞让我不得不怀疑人教社组织的这帮“专家”到底是什么水平。我个人对于人教社的教科书（教育部审定）还是比…
【回归本源】给微积分入门者的小记
到目前为止，麦子没事的时候给不少人讲过微积分的内容。不难发现有一部分人总感觉微积分很难，有一些人甚至必须要有微积分的公式表才能解决相关问题，很多人也对这些公式的来源并不了解或敬而远之。但如果稍微思考一下，便会发现这些公式都是十分顺理成章，甚至是推导过程可以说是种享受。这里打算简单写一些常用的微分推导（积分就不写了，逆运算足够了） 前言微分有很多种表示手法， [公式] 很多人都喜欢这样简写，但是这种简写很…
等距映射的定义就是对于任意 [公式] ，总成立 [公式] 的满射 [公式] 啊……如果仅仅是对于任意 [公式] ，总成立 [公式] 的映射 [公式] ，它叫作等距嵌入，不是等距映射。等距嵌入是嵌入映射的一种，是 [公式] 和 [公式] 等距。紧距离空间的一些性质我就直接用了，这里给两种证明。 法1：任取 [公式] ，令 [公式] ，得到 [公式] 中的点列 [公式] 。因为 [公式] …
匿名用户
为什么没人提抛物线的包络性质？这么明显有两个天然的直角轴夹在这儿． 初中干没干过这个事情，画一定规格的方格，比如这里 [公式] ，然后依次交错 1 个格子连接，如图 [图片] 看见中间围成的曲线了吗？猜猜是什么？圆弧？挺像但不是．其实您还可以再细分成 [公式] 看看，或者直接拓展到方格以外，同理画得 [图片] 嗬，不像圆弧，像抛物线．您说没学求导，甭着急，照样儿可以求得出来，毕竟我们只需要知道每条直线所对应的切点在哪儿…
我是一个小保安，每天爱吃小熊饼干。
正好上学期Critical Phenomena的final project我就讲了一个这样的例子。 这个例子是Spin glass领域著名的S-K model (Sherrington-Kirkpatrick model). 原文在这里： http://doi.org/10.1103/PhysRevLett.35.1792 具体的推导比较长，我不详细写了，简单来说这是一个包含ramdom interaction的ising model，然后两位研究者在解这个模型的自由能的时候用了所谓的replica trick。这个解的过程中要取两个极限，第一个是replica的极限，replica number趋向于0；…
冒天下之大不韪说一句，同济版的《高等数学》以及 @石家庄铁道大学 自编的《高等数学》，就是一坨不知道是什么玩意儿！当年高考数学136，不高，但自认为应该能反映一个及格工科生的数学水平。但是进入大学之后，被“高数+线代”彻底恶心坏了。 是 “彻底”恶心坏了！一方面是学校用的自己的数学教材，这种教材就是把同济那版抄了个四不像拿过来给学生用了，个人感觉这就是骗经费的。数学系的老师们按照自己对于学生的了解简单地…
其实，我想对题主说，你提的问题一点都不弱智。恰恰相反，这是个非常有意义的问题。我们学习一门知识，尤其是数学知识，要知其然，更要知其所以然。今天，我尝试从 “如何去定义“的角度出发来解释这个问题，不玩公式推导的符号游戏。希望能带来新的启发。为解决对数函数的问题，在未给出定义以前，我们应该先研究指数函数。最开始，我们有指数的基本性质： [公式] 根据基本性质，你应该能够推导出一些指数函…
叶公好书，不得甚解。
予神就是予神 @予一人 构造非常巧妙。唯一的问题是予神为了证明的简洁性，略去了思考过程，导致我们这些凡夫俗子摸不着头脑。 那么，我来试着补充一些过程，给予神作注。 观察，我们可以得到如下思考过程： 1. [公式] 和 [公式] 很接近 但 [公式] 因此 [公式] 2. 注意哈，这个 [公式] 跑哪里去了？——跑分母位置去了3、我们一般证明，都是类似这样的 求证： [公式]
全网最细致的积分不等式逼近教程——磨光技术
CMC数学类15届国一/两届省第一/报班教你登顶/大三数学系
你还在为积分不等式而发愁吗？他来啦他来啦，应群u要求写了这一期积分不等式——保！姆！级！教！学！让你从此以后玩转逼近法，再也不用担心函数性质不够好啦~~ 日后市面上关于单调函数和凸函数的积分不等式应该不会再有什么难题了，文中介绍了多种通用手法，还有终极武器——磨光技术，零门槛包看懂包学会前言说到逼近，你能想到哪些东西？ 比如：1、黎曼可积函数可以用连续函数逼近（积分误差任意小）2、闭区间上的连续函数可…
有一天，李田所让下北泽大学数学系毕业的助手远野计算灯泡体积，远野算了114个小时还计算不出。李田所骂了一声池沼，轻松地从自己的林檎中取出一些米青，置入烧杯，加入514毫升水溶解，搅拌均匀，又命令大力士张三浦把灯泡钻了个口子。 李田所把灯泡按进米青悬浊液，浊液咕嘟咕嘟从口子涌进灯泡。灯泡内灌满浊液后，李田所将灯泡取出，将灯泡内的浊液A，和烧杯里剩下的浊液B，分别倒在两个细胞计数板中。李田所命令远野用显微镜…
凤凰于飞，翙翙其羽，亦集爰止
刚写好解答发现有人 po 过 mathexchange 的链接了。思路 99% 是一致的，为了不白费码字的努力还是发出来。顺便希望提供一点点 insight。 补充假设 [公式] ( [公式] 的情形完全类似) 那么这是典型的延迟微分方程 (delay differential equation)。一般来说，假设 [公式] 在 [公式] 的某个领域内解析是合理的，即 [公式] 那么，根据 Cauchy 乘积之性质以…
《图解普林斯顿微积分读本》系列合集
请关注公众号[遇见数学] ID: MeetMath
[遇见数学] 基于风靡美国《普林斯顿微积分读本》一书所编程制作的图解系列文章, 推荐边阅读书籍边查看动画. 第一版花费了相当大的精力来编程制作动画, 共制作了20章的内容, 书中余下章节不太适合图形来展示, 就需要诸位翻书来看了. 全部各章内容 - 点击即跳转查看 01 -【函数、图像和直线】 02 -【三角学回顾】 03 -【极限导论】 04 -【连续和可导性】 05 -【求解微分问题】 06 -【三角函数的极限和导数】 07 -【隐函数求导和相…
【科普】如何优雅地“注意到”关于e、π的不等式
最近关于 [公式] 和 [公式] 的不等式问题突然火起来，多个问题“如何优雅地证明 [公式] ?”、“如何优雅地证明 [公式] ?”、“如何优雅地证明 [公式] ?”、“如何优雅地证明 [公式] ?”都频频登上热搜。论起优雅的证明方法一定少不了使用定积分。典型证明的套路就是谈笑间 “注意到”一个关于 [公式] 或者 [公式] 的减法等于一个大于0的定积分，例如要证明 [公式] ： 我们注意到 [公式]
你这个公式怎么推导出来的真是难倒我了, 就像古神的呓语, 完全没道理 就说这个东西 [公式] 你要是不会积, 那你可以不等式估计下 来我们来变形 [公式] 这一看就是柯西不等式积分形式吧, 于是: [公式] [公式]
CMC数学类15届国一/两届省第一/报班教你登顶/大三数学系
这不仅是最难的积分，也是史上最困难的一道一试题，没有之一！！ 对 [公式] ，证明： [公式] ，其中 [公式] 为素数。说它是一试题，是因为他出现在了这份模拟卷中 [图片] 为什么说它是“最难的积分题”呢？相信大家已经猜到了：这就是著名的哥…
这是一个非常好的问题，寻找积分背后潜在的内容比单纯无脑计算积分有趣多了， 对于此积分，最为直接的方法便是通过换元： [公式] ，那么原积分便可以直接转化为一个简单的积分： [公式] 但如果仅仅将思考停留在这一步，那自然是十分可惜的。这里借用3Blue1Brown的一句话， 有 [公式] 的地方…
