微积分是什么？

从小学开始我们就在学习数学，但是大学之前的数学只能算是思维训练。而微积分才算是数学真正的起点，是很多学科基础中的基础。

本节简单介绍下，微积分研究的是什么？

1 开普勒第二定律

人类文明从仰望星空那一刻起，就已经距离揭示宇宙奥秘仅有一步之遥了。

----刘慈欣《朝闻道》

自古以来，人们都渴望揭示星空的秘密，似乎做到这一点，就可以从神的手中接过权杖。

第谷·布拉赫（1546 －1601），丹麦贵族，天文学家兼占星术士和炼金术士。他花了20多年在丹麦皇家天文观察行星运行，临死的时候把这个数据交给了他的助手开普勒（但是貌似没有书面文件说明开普勒可以使用这个数据，所以后面还扯了些官司出来）。

约翰内斯·开普勒（1571－1630），德国天文学家、数学家。他继承了第谷的天文观测数据之后，就以“日心说”为假设，花了好几年的时间，日算夜算，归纳总结出了开普勒三定律（是的，活生生的通过数据猜出来的），成功地预测了一个个天文现象，达到了中世纪天文的高峰。

来看看开普勒第二定律，说的是，在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的：

也就是说，上图中：

因为要求每块的面积，而且行星运动曲线往往不是规则的椭圆形，这就对数学提出了一个不好回答的问题。

2 面积计算

先不算那么复杂的面积，简化一下，看看怎么求这个曲线下的面积 吧：

2.1 线性近似的思想

阿基米德（前287年－前212年），古希腊数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家。他曾经说过：“给我一个支点，我可以举起整个地球。”

为了计算圆的面积，阿基米德用内接等边多边形去逼近：

多边形是直线组成的，圆是曲线，所以这种思想叫做“线性近似”，或者“以直代曲”。

2.2 通过矩形来逼近曲面面积

根据之前“线性近似”的思想，当然可以用矩形来逼近曲线下面积：

 越大，则矩形越多，则逼近效果越好：

可以想见，当 无限接近0时，矩形的面积和就与曲线下的面积相等。

数学家用微积分来命名这样的计算方法。

其中，微分，指的是 无限接近0时，微小的矩形面积：

积分，指的是把无数这样微小矩形的面积加起来，以得到曲线下面积：

3 困难

那么，什么是：

在定义什么是“ 无限接近0”时，遇到了真正的困难：

•  无限接近于0，但 ， 否则以0为底边长的矩形面积为0，无穷多个0相加仍然为0

•  无限接近于0，又必须最接近0， 不可能有什么实数比 更接近于0

•  最接近于0，所以 一定不能为实数，否则 就会比 更接近于0

乔治·贝克莱(1685－1753)，著名英裔爱尔兰哲学家，同时为圣公会驻爱尔兰科克郡克洛因镇的主教。

贝克莱主教可谓是微积分发展史上的著名“大反派”，他就嘲笑过 似0非0，仿佛一个幽灵，籍此攻击当时稚嫩的微积分（不过仔细想想，作为一个主教，用数学的思维来攻击数学，这明明是被神学耽误了的数学家啊）。

 到底是什么？什么又是“ 无限接近0”？

这是数学上非常关键的一个问题，要等到“极限”出现了才能被真正解决。

最新版本参见（可能有后续更新）：微积分是什么？