该文章为这两天竞赛培训的小总结~

内容是老师讲的，笔记可能会有点小错误，如果有问题欢迎指出~

难度可能较大，欢迎有兴趣的同学们阅读~

一、舒尔不等式(Schur's inequality)

设 ，对任意实数 ，均有：

由于式子具有轮换对称性，以下使用循环求和符号：

其中：

证明 由对称性，不妨设 ，观察发现：

， ，

①若 ，显然 较小，放缩得到：

②若 ，显然 较小，放缩得到：

所以 对任意实数 均成立。

二、应用

（1）取 ，称此时的不等式为三次舒尔不等式，即：

，展开括号得：

，整理得到以下三式：

其中借助了恒等式（展开易证）：

（2）对三次舒尔不等式，右侧使用均值不等式：

令 ， ， ，换元得到：

此时为竞赛中的常见题型，其中常有条件： ，则：

要直接证明此不等式较为困难，此时可使用舒尔不等式。

（3）对（2）中结果：

整理得到：

此时也为竞赛中的常见题型，其中常有条件： ，则：

要直接证明也很困难，用舒尔不等式可以优化解题。

（4）取 ，称此时的不等式为四次舒尔不等式，即

，展开括号得：

，整理得到：

四次舒尔不等式也是竞赛中常用的，最好要掌握。