舒尔（ Schur \texttt{Schur} Schur）不等式1
具体内容
Schur \texttt{Schur} Schur 不等式： x ， y ， z x，y，z x，y，z 为非负实数， r r r 为实数时，下列不等式成立
x r ( x − y ) ( x − z ) + y r ( y − x ) ( y − z ) + z r ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\ge 0 xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)≥0
例子
- r = 0 r=0 r=0 时
( x − y ) ( x − z ) + ( y − x ) ( y − z ) + ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 (x-y)(x-z)+(y-x)(y-z)+(z-x)(z-y)\ge 0 (x−y)(x−z)+(y−x)(y−z)+(z−x)(z−y)≥0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − x y − y z − z x ≥ 0 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge 0 ⇔x2+y2+z2−xy−yz−zx≥0 ⇔ 1 2 { ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 } ≥ 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\} \ge 0 ⇔21{ (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2}≥0 - r = 1 r=1 r=1 时
x ( x − y ) ( x − z ) + y ( y − x ) ( y − z ) + z ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\ge 0 x(x−y)(x−z)
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