[最佳答案] 简介 黎曼函数是一个特殊函数,由德国数学家黎曼发现提出,在高等数学中被广泛应用,在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。 此函数在微积分中有着重要应用。 定义 R(x)=0,如果x=0,1或(0,1)内的无理数; R(x)=1/q,如果x=p/q(p/q为既约真分数),即x为(0,1)内的有理数。 性质 定理:黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。 证明:对任意x0∈(0,1),任给正数ε,考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点,因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式(q∈N+),且对每个q,函数值等于1/q的点都是有限的,所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点,连同0、1,与x0的最小距离为δ,则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中,从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。 推论:黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续,有理点处处不连续。 推论:黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。(实际上,黎曼函数在[0,1]上的积分为0。) 证明:函数可积性的勒贝格判据指出,一个有界函数是黎曼可积的,当且仅当它的所有不连续点组